====== Examen Final - 61.08. Álgebra II ====== **Cátedra:** Todas\\ **Fecha:** 3º Oportunidad - (1º Cuatrimestre|Invierno) 2007\\ **Día:** 23/07/2007 ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== **(a)** Dada A= \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & b\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & a\\ \end{array} \right] halle los valores de a y b para que 1 sea autovalor de A y A no sea semejante a una matriz diagonal. **(b)** Sea T \in L(P_2) tal que [T]_E=A con a=-b=2 y E=\{1,t,t^2\}. Halle T^{10}(1+t). ==== Punto II ==== Sea Q: R^n \rightarrow R; Q(x)=x^T(\alpha I + \beta P)x con P \in R^{nxn} matriz de proyección y \alpha y \beta \in R. **(a)** Halle los valores de \alpha y \beta para que Max_{\|x\|=1}Q(x)=5 y Min_{\|x\|=1}Q(x)=2. **(b)** Suponiendo \alpha=1 y \beta=3 y Col(P) = \{x \in R^2:x_1+2x_2=0\} grafique el conjunto \{x \in R^2:Q(x)\leq 4 \}. ==== Punto III ==== **(a)** Demostrar que si 4 es valor singular de A \in R^{nxm}, entonces existe x \in R^m con \|x\|=1 tal que \|Ax\|=4. **(b)** Probar que dada A \in R^{nxn} con Det(A) \neq 0 siempre puede hallarse una matriz ortogonal R \in R^{nxn} de modo tal que B=AR sea simétrica y definida positiva. ==== Punto IV ==== **(a)** Hallar la solución general del sistema de ecuaciones y_1'=3y_1+4y_2+1\\ y_2'=4y_1+3y_2-1 **(b)** Halle la solución a valores iniciales de (1+x^2)y''+2xy'= \frac {1}{1+x^2}, y(0)=y'(0)=1. Pista: considere z=y'. ===== Resolución ===== ==== Punto III ==== a)Hago una DVS de A: A = U \Sigma V^T . \\ Tengo como dato que 4 es valor singular, entonces defino \sigma_k = 4 \\ Tengo que demostrar que existe un x que cumpla ||Ax|| = 4, o lo que es lo mismo (Ax,Ax)=||Ax||^2 = 16, con ||x|| = 1 \\ Desarrollo el producto (Ax,Ax) con la DVS de A: \\ (Ax,Ax)=(U\Sigma V^T x)^T U\Sigma V^T x = x^T V \Sigma^T U^T U \Sigma V^T x = x^T V \Sigma^T \Sigma V^T x \\ Sabiendo qeu \Sigma es una matriz definida por bloques, D \in r \times r con rango(A)=r: \\ \Sigma = \left[ \begin{array}{cc} D & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right] \\ \Sigma^T \Sigma = \left[ \begin{array}{cc} D^2 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right] \\ Planteo tambein el cambio de variables ortogonal y = V^T x \Longleftrightarrow y^T=(V^T x)^T=x^T V \Longleftrightarrow x = V y \Longleftrightarrow x^T=(V y)^T=y^T V^T \\ Entonces la expresión me queda: (Ax,Ax)= y^T \Sigma^2 y = {\sum_{i=1}^r \sigma_i^2 y_i^2} \\ Propongo un y de manera tal que (Ax,Ax)=16 y \\ 1=||x||=||x||^2=(x,x)=(Vy,Vy)= y^T V^T V y = y^T y = (y,y) = ||y||^2 = 1 \\ Se ve facil que el vector y con un 1 en la k-ésima posición y ceros en las otras cumple ambas condiciones. Para obtener el x utilizamos la igualdad x=Vy b) Hago una DVS de A: A = U \Sigma V^T . Entonces me queda B = U \Sigma V^T R . Para que B sea simétrica, se debe cumplir: B = B^T \\ U \Sigma V^T R = (U \Sigma V^T R)^T = R^T V \Sigma^T U^T = R^T V \Sigma U^T \\ De aca obtenemos la condición V^T R = U^T . En este caso \Sigma = \Sigma^T por ser una matriz cuadrada, ya que \Sigma \in n \times n . \\ Se puede ver también que se comprueba que R es ortogonal, porque es producto de dos matrices ortogonales, siendo R=VU^T. Ahora faltaría probar que B es definida positiva. Armo la siguiente forma cuadrática: \\ Q(x)=x^TBx=x^T U \Sigma U^T x \\ Realizo un cambio de variables y = U^T x \Longleftrightarrow y^T=(U^T x)^T=x^T U \\ \tilde Q(y)= y^T \Sigma y \\ Para probar que esta forma cuadrática es definida positiva alcanzaria con ver que los elementos de la diagonal, es decir, los valores singulares, son estrictamente mayores que 0. Pero, sabemos que \sigma_i=\sqrt{\lambda_i} siendo \lambda_i el i-ésimo autovalor de A^T A, pero como det(A^T A) = det (A) \cdot det (A^T)= det (A)^2 \neq 0 , 0 no puede ser autovalor, entonces 0 tampoco puede ser valor singular, y queda demostrado que siempre existe R que cumpla las condiciones requeridas ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.