====== Examen Final - [61.08] Álgebra II - 13/7/07 ====== **Cátedra:** Todas\\ **Fecha:** 2º Oportunidad - 1º Cuatrimestre 2007\\ **Día:** 13/07/2007 Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== ==== Punto 1 ==== Sea T \in L(R^{nxn} ), definida por T(X) = XA - AX , con A \in R^{nxn}. \\ (a) Demostrar que 0 es autovalor de T. \\ (b) Considerando A= \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right] , hallar, si existe una base B de R^{2x2} tal que [T]_B sea diagonal. \\ ==== Punto 2 ==== (a) Dada la forma cuadrática Q:R^3 \rightarrow R, Q(x) = 2 \alpha x_1^2 + 2 \alpha x_1 x_2 + 2 \alpha x_2^2 + x_3^2 \, (\alpha \in R), hallar max_{||x||=1}Q(x) y min_{||x||=1}Q(x). \\ (b) Sea A \in R^{nxn} simétrica y tal que x^T(A^3 - 6I)x>2||x||^2 \, \, \forall x \in R^n - \{0\} . Demostrar que existe A^{-1} y que todos los autovalores de A^{-1} se encuentran en el intervalo (0,1/2) . (Sugerencia: ||x||^2=x^TIX) ==== Punto 3 ==== (a) Sea G \in R^{nxn} tal que (x,y)=x^TGy es producto interno en R^n y sea R \in R^{nxn} ortogonal. Probar que los autovalores de G coinciden con los valores singulares de A = GR \\ (b) Sea A=U \Sigma V^T una descomposición en valores singulares de A \in R^{mxn} . Probar que cada columna de U es autovector de AA^T y que los cuadrados de los elementos no nulos de \Sigma son autovalores de AA^T. \\ ==== Punto 4 ==== (a) Hallar todas las funciones z(t), \, y(t) que satisfacen las condiciones. \\ tz'=z+t^2y \\ y''=4y \\ y(1)=e^2 \\ y'(1)=2e^2 \\ \\ (b) Sabiendo que A \in R^{2x2} es simétrica y tal que A[1 \, 2]^T = [2 \, 4]^T y det(A) = 6, hallar la solución del problema a valor inicial X'=A^{-1}X, \, X(0) = [0 \, 1]^T ===== Resolución ===== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.