===== Enunciado =====
**1)** Sea  <tex>f</tex> y sea  <tex>B = \{v_1;v_2;v_3\} </tex> una base de <tex>V</tex>. **(a)** Sea <tex>f</tex> 

<tex>[f]_{B} = 
\left[ \begin{array}{ccc} 
 3 & 1 & 0 \\
 1 & 3 & 0 \\
 2\alpha-1 & 2\alpha-1 & 4 
\end{array} \right]</tex>, determine los valores de <tex> \alpha </tex>.   para los cuales <tex>[f]_B</tex> es diagonalizable. Hallar los autovalores y autoespacios.

**(b)** Considerando <tex>\alpha = \frac{1}{2}</tex> buscar la imagen de <tex> p = 2v_3+v_2-v_1</tex> con <tex>g = f^{10}-2f^3+f </tex>. 

**2)** **(a)** Los valores del potencial eléctrico en el punto <tex> [x_1 \quad x_2]^t </tex> están dados por <tex>U(x) = 3x_1^2 -8x_1x_2 +9x_2^2 </tex>. Hallar las curvas equipotenciales y dibujar algunas.

**(b)** Considerando la forma <tex>x_1^2 +3x_2^2=3 </tex>, hallar los puntos en los cuales el potencial es mínimo.

**3) (a)** Sea <tex> A = 
\left[ \begin{array}{ccc} 
 -1 & 1 \\
  1 & 1 \\
 -1 & 1 \\
  1 & 1 \\
\end{array} \right]</tex>
<tex>\left[ \begin{array}{ccc} 
 \gamma_1 & 0 \\
  0 & \gamma_2 \\
\end{array} \right]</tex>
<tex>\left[ \begin{array}{ccc} 
  4 & -3 \\
  3 & 4 \\
\end{array} \right]</tex>, 
 
Hallar una DVS y las matrices de proyección del <tex> Nul(A^t) </tex> y <tex> Col(A)</tex>

**(b)** Con <tex>\gamma_1 = 2</tex> y <tex>\gamma_2 = 1</tex>, busque todos los <tex>x</tex> tales que <tex>||Ax-b||</tex> resulte mínimo.

**4) (a)** Hallar la solución de la ecuación diferencial a valores iniciales de

<tex> X' = 
\left[ \begin{array}{ccc} 
 1 & \alpha \\
  \alpha & 1 \\
\end{array} \right]X</tex>, 
<tex> X(0) = 
\left[ \begin{array}{ccc} 
  1 \\
  3 \\
\end{array} \right]</tex>


**(b)** Hallar la solución general de <tex>y''+a_1y'+a_0y = sen(t) </tex> sabiendo que la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada es <tex>y=e^tcos(2t)</tex>


**El examen se aprueba resolviendo correctamente al menos cuatro puntos. Justifique todas sus respuestas.**