====== Coloquio 21/12/2005 ====== ===== Enunciado ===== **1)** Sea T y sea B = \{v_1;v_2;v_3\} una base de V. **(a)** Sabiendo que para cierta base B' de V, [T]_{B'} = \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \alpha + 1 \end{array} \right], determine los valores de \alpha . para los cuales [T]_B es diagonalizable. **(b)** Considerando B' = \{v_2 + v_3; v_1 + v_2; -v_1 + v_2 + v_3\} y \alpha = -2, hallar los autovalores y autoespacios de S = T^5 + 2T . **2) (a)** Sea U \in \mathbf R^{3\times 3} ortogonal y tal que \det (U)= 1. Probar que existe v \in \mathbf R^3, v \not= 0 , tal que Uv = v. **(b)** Probar que si A \in \mathbf R^{n \times n} es simétrica y tal que -3\| x \| ^2 \leq x^t(A-I)x \leq -2\|x\| ^2 para todo x \in \mathbf R^n, entonces A es inversible y los autovalores de A^{-1} pertenecen al intervalo [-1,\;-0.5] **3)** La temperatura del punto [x_1 \quad x_2]^t del plano es T(x) = 4x_1^2 + 2 \alpha x_1x_2 + x_2^2 ( \alpha \in \mathbf R ). **(a)**Hallar los valores de \alpha para los cuales las isotermas son curvas cerradas. **(b)** Considerando \alpha =2, hallar los puntos de la curva 4x_1^2+x_2^2 =4 en los cuales la temperatura es máxima. **4) (a)** Hallar A \in \mathbf R^{3 \times 3} tal que 9 y 4 sean autovalores de A^tA, [0 \quad 1 \quad -1]^t \in \mathrm{Nul} (A) y [-1 \quad 0 \quad 1]^t \in \mathrm{Nul} (A^t). **(b)** Sabiendo que A \in \mathbf R^{2 \times 2} es simétrica y tal que A[2\quad 1]^t = [4 \quad 2]^t y \det (A) = 2 , hallar la solución del problema a valor inicial X' = A^{-1}X , X(0) = [0 \quad 1 ]^t. Los alumnos del 2do cuatrimestre de 2004 o del 1ro de 2005 deben reemplazar el punto **4(b)** por el siguiente: **(b*)** Sea A \in \mathbf R^{m \times n}. Probar que \mathrm{Col} (A^+) = \mathrm{Fil} (A) y que \mathrm{Nul} (A^+) = \mathrm{Nul} (A^t). **El examen se aprueba resolviendo correctamente al menos cuatro puntos. Justifique todas sus rerspuestas.** ===== Resolución Ejercicio 1) ===== ===== Resolución Ejercicio 2) ===== **(b)**\\ Si\alpha =2 entonces T(x)=4 x_1^2 + 4 x_1 x_2+x_2^2 / con la restricción de que 4x_1^2 + x_2^2 =4\\ Primero voy a cambiar la restricción para que me quede de \|\| =1\\ y_1^2 + y_2^2=1\ entonces tengo que aplicar una transformación x=Py donde y_1=x_1 y y_2= x_2 /2\\ Planteo y=P^{-1}x con P^{-1} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \\ \end{array} \right]\\ Quedaria: \left[ \begin{array}{ccc} y_1 \\ y_2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right]\\ Por lo tanto P = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right]\\ Ahora voy a analizar la ecuación x^T A x\\ Obtengo:x^T A x = (Py)^T A Py = y^T P^T A P y\ con A = \left[ \begin{array}{ccc} 4 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right]\\ Busco el máximo dey^T P^T A P y = y^T \left[ \begin{array}{ccc} 4 & 4 \\ 4 & 4 \\ \end{array} \right] y\\ A simple viste se puede observar que \lambda_1 =0 y \lambda_2 =8 \\ Por lo tanto en \lambda_2 va a estar el máximo\\ S_\lambda = Nu(P^T A P - \lambda I)= Nu(\left[ \begin{array}{ccc} -4 & 4 \\ 4 & -4 \\ \end{array} \right]) \\ S_\lambda = gen{[1 \quad 1]^T}/ como tenia que ser de norma 1 y=\pm [1/\sqrt 2 \quad 1/\sqrt 2]^T\\ x=Py/ x=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{ccc} 1/\sqrt 2 \\ 1/\sqrt 2 \\ \end{array} \right]\\ x = \left[ \begin{array}{ccc} 1/\sqrt 2 \\ 2/\sqrt 2 \\ \end{array} \right]\\ El máximo va a estar en x = \pm [1/\sqrt 2 \quad 2/\sqrt 2]^T ===== Resolución Ejercicio 3) ===== ===== Resolución Ejercicio 4) ===== **(a)**\\ Primero voy a escribir a A como U\Sigma V^T como A \in R^{3\times 3} entonces\\ U \in R^{3\times 3}\\ V \in R^{3\times 3}\\ \Sigma \in R^{3\times 3}\\ V = \left[ \begin{array}{ccc} a & d & 0 \\ b & e & 1/\sqrt 2 \\ c & f & -1/\sqrt 2 \end{array} \right] U = \left[ \begin{array}{ccc} o & r & -1/\sqrt 2 \\ p & s & 0 \\ q & t & 1/\sqrt 2 \end{array} \right] \Sigma = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 01 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\\ tal que la 3^{er}\mathrm{Col}(V) \in \mathrm{Nul}(A) y la 3^{er}\mathrm{Col}(U) \in \mathrm{Nul}(A^T) , siendo \Sigma las raices de los autovalores deA^T A\\ Entonces lo que hay que hacer es completar esas dos matrices con valores tal que V y U sean matrices ortogonales, no son valores muy dificiles de sacar, por lo tanto pongo directamente\\ V = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt 2& 1/\sqrt 2 \\ 0 & 1/\sqrt 2 & -1/\sqrt 2 \end{array} \right] U = \left[ \begin{array}{ccc} -1/\sqrt 2 & 0 & -1/\sqrt 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1/\sqrt 2 & 0 & 1/\sqrt 2 \end{array} \right]\\ V es simétrica, por lo tanto puedo decir queU\Sigma V^T = U\Sigma V = A \\ Calculando: A= \left[ \begin{array}{ccc} (-3\sqrt 2)/2 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt 2& 0 \\ (-3\sqrt 2)/2 & 0 & \sqrt 2 \end{array} \right]