====== Examen Parcial - 61.07. Matemática Discreta - 24/11/2012 ======

**Cátedra:** Todas\\ 
**Fecha:** Segunda Oportunidad - 2º Cuatrimestre 2012\\ 
**Día:** 24/11/2012

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====
Sean los enunciados abiertos:
p(n): "n es impar", q(n): "<tex>n^2</tex> es impar" con <tex>z \in \mathbf{Z}</tex>

Escribir en lenguaje simbólico las siguientes proposiciones, analizar su valor de verdad e indicar cuáles son equivalentes:

  - Un entero es impar sólo si su cuadrado es impar.
  - Que un entero sea impar es condición necesaria para que su cuadrado también lo sea.
  - El cuadrado de cualquier entero impar es impar.
  - Existen algunos enteros cuyos cuadrados son impares.
  - Todo entero con cuadrado par es par.
  - Un entero es impar sólo si su cuadrado también es impar.

==== Punto II ====
Se disponen de n fósforos para formar palabras con las letras I (un fósforo) y con la letra V (dos fósforos). Sea <tex>P_n</tex> el número de palabras distintas que se pueden formar con n fósforos.

  - Hallar una relación de recurrencia para los <tex>P_n</tex>.
  - Resolver la ecuación del homogéneo del punto anterior igualada a <tex> f(n) = 3\cdot 2^n</tex>

==== Punto III ====
Un examen consta de 15 ejercicios. Cada ejercicio se clasifica con Bien, Mal o <tex>\emptyset</tex>

Se define la relación: <tex>\text{ejericio}_{(i)}\, R\, \text{ejercicio}_{(j)} \iff \text{tienen la misma calificacion}</tex>

  - Probar que es una relación de equivalencia.
  - Determinar el conjunto cociente. ¿Cuántas clases de equivalencia hay? ¿Cuántas serían si un alumno responde todas las preguntas?

==== Punto IV ====
En <tex>{\mathbf{N}}^2</tex> se defina la siguiente relación
<tex>(x,y) R (u,v) \iff x|u \wedge v=y 2^k</tex> con <tex> k \in \mathbf{N}_0</tex>

  - Probar que es una relación de orden.
  - ¿Es un orden total? Justificar.
  - Hallar los elementos particulares del conjunto <tex>B=\{ (x,y) \in \mathbf{N}^2: 1\ge x\ge 3 \wedge 1\ge y\ge 2  \}</tex>

==== Punto V ====
  - En un Álgebra de Boole si <tex>a\preceq b + \overline{c}</tex> entonces ¿es posible que <tex>a \not\preceq b</tex>?
  - En un Álgebra de Boole, demostrar que <tex>a\cdot[b+\overline{a\cdot b} = a \iff b + \overline{a} = 1</tex>
  - Simplificar la función booleana: <tex> f(x,y,z) = \overline{x} + y + [(y+z)\overline{(x+z)}]</tex> y construir un circuito usando solamente compuertas NAND binarias (dos entradas).

===== Resolución =====
<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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