====== Examen (Parcial) - 61.07. Matemática Discreta ======

**Cátedra:** Todas\\
**Fecha:** 1er Oportunidad - (1er Cuatrimestre) 2009\\
**Día:** 16/05/2009

<note important>
Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material.
</note>

===== Enunciado =====

**1** Sea <tex>T</tex> la relación definida en <tex>R^2 - \lbrace (0,0) \rbrace</tex> por <tex> (x,y)T(s,t) \Longleftrightarrow xt = ys </tex>.

a) Probar que <tex>T</tex> es una relación de equivalencia. \\
b) Caracterizar geométricamente las clases de <tex>T</tex>. \\
c) Si la anterior relación se define en <tex>R^2</tex>, ¿es una relación de equivalencia? ¿Por qué?


**2** Sea <tex> \beta </tex> un álgebra de Boole con exactamente <tex>n</tex> átomos que son <tex> a_1,...,a_n </tex>.

a) ¿Cuántas soluciones tiene el siguiente sistema?

<tex>\left\{ \begin{array}{l}
xy = z\\
xz = y\\
yz = x\\
\end{array} \right.</tex>

b) Si <tex>a \in \beta </tex> es tal que: <tex> \forall (x \in \beta \Rightarrow (ax = 0 \vee ax= a))</tex>, entonces <tex>(a</tex> es un átomo <tex>  \vee  \mbox{ }a=0) </tex>. \\
c) Probar: <tex> 1 = a_1 + ... + a_n </tex>. 

**3** Teniendo en cuenta que todo punto de <tex>R^2 - \lbrace (0,0) \rbrace</tex> se escribe en forma única:

<tex> (x,y)= r(\cos(\varphi), \sin(\varphi))</tex> con <tex> || (x,y) || = r > 0</tex> y <tex> 0 \le \varphi < 2\pi </tex>, se define la siguiente relación en <tex>R^2</tex>:

Si <tex> (x,y) \ne (0,0) </tex>, <tex> (x,y) = || (x,y) || (\cos(\varphi), \sin(\varphi))</tex> y si <tex> (s,t) \ne (0,0) </tex>, <tex> (s,t) = || (s,t) || (\cos(\theta), \sin(\theta))</tex>:

<tex> (x,y)S(s,t) \Longleftrightarrow ( || (x,y) || < , || (s,t) || ) \lor ( || (x,y) || = || (s,t) || \ne 0 \land \varphi \le \theta ) \lor ((x,y) = (s,t) = (0,0)) </tex>

a) Probar que <tex>S</tex> es una relación de orden.\\
b) Probar que es un orden total. \\
c) ¿Existe un mínimo de <tex>R^2</tex>?

**4** Sea <tex> 4a_{n+2} + \alpha a_{n+1} + \beta a_n = h(n) </tex> con <tex> 0 \le n </tex> una relación de recurrencia de segundo orden con coeficientes constantes .

Sabiendo que <tex> (a_n) = ( 1 - 2n + 4 \cdot 2^{n-1}</tex> y <tex> (b_n) = (2^{n+1}) </tex> son soluciones de la ecuación dada, determine <tex> \alpha, \beta</tex> y <tex> h(n) </tex>.

**5**

a) Sean <tex>p(n) : \mbox{n es primo}</tex> y <tex>q(n) : \mbox{n es par}</tex> definidas en <tex> \mathbf N </tex>.

Determinar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta.

<tex> P_1:  (\exists m \in \mathbf N ) (\forall n \in \mathbf N ) (q(n) \land p(n + m)) </tex>

<tex> P_2:  (\forall n \in \mathbf N ) (\exists m \in \mathbf N ) (\neg q(n) \rightarrow q(n + m)) </tex>

b) <tex>(\forall n \in \mathbf N) (\mathop{\sum}_{i = 1}^{n} \frac {(i!)^2}{(i - 1)!} = (n+1)! - 1) </tex>