====== Examen (Parcial) - 61.07. Matemática Discreta ====== **Cátedra:** todas\\ **Fecha:** 1er Oportunidad - (2do Cuatrimestre) 2008\\ **Día:** 25/10/2008 Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== **1** Se define en Z la siguiente relación:\\ aRb \leftrightarrow \ [(a\geq b\ \wedge \ a-b \ es \ par) \vee \ ( a \ es \ par \wedge \ b\ es\ impar)]\\ a) Probar que es un orden total. b) Confeccionar el diagrama de Hasse para R restringida a A=\{x\ \in \ Z:\mid x\mid \leq 3\}.\\ c) ¿Existe algún subconjunto de Z que tiene ínfimo pero no mínimo? Justifíque. d) ¿Existe algún subconjunto infinito de Z que tiene ínfimo y supremo? Justifíque. \\ \\ **2** En \Re se define la siguiente relación: \\ aRb \leftrightarrow (a-4)^{2} = (4-b)^{2}\\ a) Probar que es una relación de equivalencia.\\ b) Hallar el conjunto cociente.\\ \\ \\ **3** Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (JUSTIFIQUE):\\ a) \forall x \in Z : \forall y \in X : (x\ es\ multiplo\ de \ y \rightarrow x\ es \ multiplo\ de\ y^{2}) \\ b) \exists x \in \Re : \forall y \in \Re : (x > y \oplus y \geq x^{2} ) \\ \\ **4**\\ a) Resuelva la siguiente ecuación de recurrencia:\\ (n+3) \log_{2} a_{n} -3(n+2) \log_{2} a_{n-1} + 2 (n+1) \log_{2} a_{n-2} = 3 \cdot 2^{n} con a_{0}=1 \ : a_{1}=2 \\ b) Demuestre utilizando el principio de inducción:\\ \forall n \in N : \sum _{i=1}^{n} i\cdot 2^{i-1} = 1 + (n-1)\cdot 2^{n} \\ \\ \\ **5** En una materia de la facultad los docentes han confeccionado un examen que consta de 5 ejercicios: A,B,C,D, y E. Para aprobar el examen exiten ciertos requisitos: * Si el ejercicio A está mal resuelto, NO se aprueba, independientemente de como estén los demás. * Si el ejercicio B no está bien resuelto entonces sí o sí deben estarlo el C y el E para poder aprobar. * Si los ejercicios D y E están ambos incorrectos tampoco se aprueba. \\ Salvo estas tres condiciones en el resto de los casos se aprueba. Se pide: \\ a) Arme la tabla de la función booleana de variables A,B,C,D, y E, cuyo resultado sea 1 si se aprueba el examen y 0 si no lo aprueba.\\ b) ¿Es **suficiente** para poder aprobar tener 3 ejercicios correctos? ¿Y 4 correctos? Justifíque. \\ c) ¿Es **necesario** para aprobar tener 3 ejercicios correctos? ¿Y 4 correctos? Justifíque. \\ d) Escriba la función booleana en forma normal disyuntiva, simplifique la expresión de la función booleana a su mínima expresión y construya un circuito que sólo tenga compuertas NOR. \\ \\ \\ ===== Resolución ===== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá o [[http://www.foros-fiuba.com.ar/privmsg.php?mode=post&u=3259|envíame un PM]].