====== Examen Parcial - 61.07. Matemática Discreta - 29/10/2011 ======

**Cátedra:** Todas\\ 
**Fecha:** 1ra Oportunidad - (2do Cuatrimestre) 2011\\ 
**Día:** 29/10/2011

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====
  - Sea <tex> Q(x,y) </tex> la sentencia, definida en Z "<tex> x^2 > y </tex>" . ¿Cuál es el valor de verdad de: 
     - <tex> (\exists y) (\forall x) (Q(x,y)) </tex>
     - <tex> (\forall x) (\exists y) (Q(x,y)) </tex>
     - <tex> (\forall x) (\forall y) (Q(x,y)) </tex>
     - <tex> (\exists x) (\exists y) (Q(x,y)) </tex>?
  - Utilizando cuantificadores y predicados con una variable, exprese: 
     - Hay un estudiante de esta clase que no tiene teléfono celular. 
     - Todo estudiante de Ingeniería Informática necesita un curso de Matemática Discreta.

==== Punto II ====
Si <tex>n \in N</tex>, se llama cadena ternaria de longitud <tex> n </tex>, a una n-upla que sólo contiene los números 0,1 y 2. 
  - Determinar la relación de recurrencia para una sucesión (<tex>a_n</tex>). donde <tex>a_n</tex> es la cantidad de cadenas ternarias de longitud <tex> n </tex> que no poseen dos ceros consecutivos. Determine, también, los valores iniciales. 
  - Resolver la dada en 1).
  - Calcular, utilizando lo obtenido en 2), <tex>a_4</tex>.

==== Punto III ====

Demostrar, utilizando el principio de inducción, que en un conjunto de <tex> n </tex> elementos hay <tex> \frac{n(n-1)}{2} </tex> subconjuntos de exactamente dos elementos, si <tex> n \geq 2 </tex>. Exprese claramente cual es la proposición que debe probar. 

==== Punto IV ====

  - Probar, sin utilizar la noción de átomo, que no existe un álgebra de Boole que tenga exactamente tres elementos.
  - Hallar la forma normal disyuntiva de la función booleana dada por: \\
<tex> F:B^3 \to B </tex> \\
<tex> F(x,y,z)=(x+z)y+xy </tex> \\
y representarla en un circuito que tenga solamente compuertas NAND (con sólo dos entradas). 


==== Punto V ====

Si <tex> A = {l, 2, 3, 4, 5} </tex>, se define en <tex> A^3 </tex> las siguientes relaciones: \\
<tex> (a,b,c)R(x,y,z) \Leftrightarrow ((a,b,c) = (x,y,z)) \vee((a \leq x) \wedge (c \leq z)) </tex>\\
<tex> (a,b,c)T(x,y,z) \Leftrightarrow (a+b+c = x+y+z) </tex> \\

  - Determinar si son relaciones de orden o de equivalencia. 
  - Para todas las que sean relación de equivalencia, hallar todas las clases y cuántos elementos tiene cada una. 
  - Para todas las que sean relación de orden, hallar todos los elementos particulares de <tex> X = {(1,2,3),(2,3,4),(4,3,3)} </tex>


===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
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