**27/07/11**

**MATEMÁTICA DISCRETA**\\     
**Coloquio**

  - 
    - Sea R una relación de equivalencia en el conjunto A. Probar que <tex>\forall a,b \in A : a R b \leftrightarrow [a] = [b]</tex>.
    - En <tex>\Re</tex> se define la relación <tex>xTy \leftrightarrow x=y \vee 3x+3y+2=0</tex>. Probar que es una relación de equivalencia. Hallar el conjunto cociente. ¿Existen clases con 3 elementos? ¿Y con 1 elemento? \\ \\ 
  - 
    - Definir átomo de álgebra de Boole. Probar que el producto de dos átomos diferentes es 0.
    - probar que la relación  <tex>\forall x,y \in B : xRy \leftrightarrow x+y=y</tex> es de orden.
    - Probar que en un álgebra de Boole con el orden definido en (b) se cumple : <tex>(x \prec \overline{y}\wedge x \cdot \overline{z} \prec y) \rightarrow y=0 </tex>. \\ \\


Faltan puntos...

**Resolución**

1.I \\
Por ser reflexiva R, se cumple que:
  *<tex>aRa \vee bRb</tex> por reflexión.
  *<tex>aRb \vee bRa</tex> por simetría.
  *<tex>a,b,c \in A : aRb,bRc \rightarrow aRc</tex> por transitividad.

Tenemos que probar <tex>[a]=\{x\in A : xRa\}=\{x\in A : xRb\}=[b]</tex>.

Sea <tex>c \in A</tex> un elemento cualquiera de [a] entonces <tex>cRa</tex>, y sabemos por hipotesis <tex>aRb</tex> entonces por transitividad <tex>cRb</tex>, por lo que <tex>c \in [b]</tex>. Entonces cualquier elemento de [a] esta incluido en [b], por lo tanto podemos decir que [a]=[b].

1.II \\
Para ser de equivalencia se debe cumplir que la relación cumpla reflexibidad, simetría y transitividad:

<tex>h: xTy</tex>\\
<tex>t: x=y \vee 3x+3y+2=0</tex>\\

La implicación será verdadera si el valor de verdad de h es verdadero y además que el valor de verdad de alguno de los dos términos de t sea verdadero.

Reflexibidad:\\
Suponiendo h verdadero, <tex>xTx</tex>, entonces <tex>x=x</tex> lo cual es verdadero. Entonces <tex> V ( h \leftrightarrow t ) = v </tex> . T es reflexiva. \\

Simetría:\\
<tex>xTy \rightarrow yTx</tex>
Si <tex>xTy</tex> entonces se cumple que (<tex>x=y</tex> ó <tex>3x+3y+2=0</tex>). Por simetría de la igualdad y conmutación de la suma podemos decir que también se cumple (<tex>y=x</tex> ó <tex>3y+3x+2=0</tex>) que sería la condición para que exista yTx . Por lo que <tex>T</tex> es simétrica.

Transitividad:\\
Si <tex>xTz</tex> y <tex>zTy</tex> se cumple que (<tex>x=z</tex> ó <tex>3x+3z+2=0</tex>) y que (<tex>z=y</tex> ó <tex>3z+3y+2=0</tex>).\\

si <tex>x=z</tex> y <tex>z=y</tex>, entonces <tex>x=y</tex>. Lo cual hace que exista <tex>xTy</tex>.\\
si <tex>x=z</tex> y <tex>3z+3y+2=0</tex>, entonces <tex>3x+3y+2=0</tex>. Lo cual hace que exista <tex>xTy</tex>.\\
si <tex>3x+3z+2=0</tex> y <tex>z=y</tex>, entonces <tex>3x+3y+2=0</tex>. Lo cual hace que exista <tex>xTy</tex>.\\
si <tex>3x+3z+2=0</tex> y <tex>3z+3y+2=0</tex>, restando ambas igualdades queda que <tex>x=y</tex>. Lo cual hace que exista <tex>xTy</tex>.\\

Entonces <tex>T</tex> es transitiva.

Conjunto cociente:
<tex>\frac{\Re}{T}=\{\{x,-3x-2\}\mbox{ con } x \in \Re\}</tex>\\

No existen clases con 3 elementos y existe una con 1 elemento cuando <tex>x=-\frac{1}{2}</tex>.\\
<tex>x=-3x-2 \rightarrow x=-\frac{1}{2}</tex>