====== GUIA 1 ======
La enumeracion de los puntos respeta la guia Cederbaum. La enumeracion de la guia comun es el numero en parentasis.
==== 1.1 (1.1) ====
74% de chicas con cabello oscuro, ojos marrones o ambos; 60% ojos marrones, 70% cabello oscuro.
a)
A: ojos marrones B: cabello oscuro
P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
0,74 = 0,6 + 0,7 - P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 0,56
b)
A^c: "Sin ojos marrones"
P(B ∩ A^c)= P(B) - P(A ∩ B) = 0,7 - 0,56 = 0,14
c)
P(A ∩ B^c) = P (A) - P(A ∩ B = 0,6 - 0,56 = 0,04
d)
1 - P(A U B) = 1 - 0,74 = 0,26
==== 1.24 (1.20) ====
Este ejercicio se resuelve con el concepto de particiones; en particular usamos coeficientes multinomiales (para más información consultar los apuntes de Grynberg).
Coeficiente Multinomiales: \frac {n!}{r_1! \cdot r_2! \cdot \cdot \cdot r_k!} con r_1+r_2+...+r_k=n
Para ver como se aplica esto vamos a calcular la cantidad de formas que hay para ir del hotel al puerto de pescadores: 14 cuadras separan al hotel del puerto y, como solo puedo moverme hacia la izquierda y hacia abajo, cualquier camino que tome implica caminar 10 cuadras hacia la izquierda y 4 cuadras hacia abajo. Usando Coeficientes Multinomiales nos queda:
\frac {14!}{10! \cdot 4!} con 10+4=14 y nos da como resultado 1001 diferentes caminos posibles.
(a) Para calcular la probabilidad de pasar por el quiosco de diarios y revistas yendo del hotel al puerto vamos a resolverlo usando casos favorables sobre casos posibles ya que todos los caminos son igualmente probables:
Casos favorables: \frac {5!}{4! \cdot 1!} \cdot \frac {9!}{6! \cdot 3!} y nos da como resultado 420 diferentes caminos posibles. El 1er producto calcula los caminos desde el hotel al quiosco y el 2do producto calcula los caminos del quiosco al puerto.
Casos posibles: ya los calculamos al principio y son 1001
Hacemos la división y nos queda \frac {420}{1001} = 0.4196
(b) En este punto tenemos una probabilidad condicional ya que nos piden la probabilidad de haber pasado por el quiosco sabiendo que pasó por el café y lo vamos a resolver de la misma manera:
P(Q|C) = \frac {P(Q \cap C)}{P(C)} = \frac{50}{120} = 0.4167
P(Q \cap C) = \frac {5!}{4! \cdot 1!} \cdot \frac {5!}{3! \cdot 2!} = 50
P(C) = \frac {10!}{7! \cdot 3!} = 120
==== 1.25 (1.15 (b)) ====
El modelo estadístico de Bose-Einstein nos dice que un evento particular tiene una probabilidad asociada de \frac {1}{{r+n-1 \choose n-1}} siendo n el número de urnas y r el número de bolas.
(a) Como ambos son eventos particulares tienen asociada la misma probabilidad.
P(17 \, bolas \ en \ la \ 1^{er} \ urna) = P(10 \ bolas \ en \ la \ 1^{er} \ urna \ y \ 7 \ bolas \ en \ la \ 2^{da} \ urna) = \frac {1}{{17+20-1 \choose 20-1}} = \frac {1}{{36 \choose 19}} = 1.163 \cdot 10^{-10}
(b) Es un evento particular así que la probabilidad es la misma que en (a)
(c) Acá nos encontramos con una situación de casos favorables sobre casos posibles donde los casos favorables los planteamos como 17 bolas a distribuir en 17 urnas.
P(Que \ no \ caigan \ bolas \ en \ las \ ultimas \ 3 \ urnas) = \frac {{r+n-1-3 \choose n-1}}{{r+n-1 \choose n-1}} = \frac {{17+20-1-3 \choose 17-1}}{{17+20-1 \choose 20-1}} = \frac{{33 \choose 16}}{{36 \choose 19}} = 0.1357
==== 1.26 (No está en la guía de Grynberg) ====
Nos dicen que tenemos 7 botellas de vino para ubicar en un estante de 4 columnas y 3 filas. Para simplificar la situación podemos pensarlo como un estante de 1 fila y 12 columnas con cada celda numerada del 1 al 12.
Como en cada celda entra a lo sumo una botella y todas las configuraciones son igualmente probables podemos aplicar la estadística de Fermi-Dirac para resolver el ejercicio.
Para calcular la probabilidad de que la fila de arriba quede ocupada podemos pensarlo como si las celdas del 1 al 4 estuvieran llenas con una botella cada una lo cual implicaría que habría que repartir las 3 botellas que quedan en las celdas que van del 5 al 12. Por lo tanto estamos en una situación de casos favorables sobre casos posibles donde:
Casos favorables: {8 \choose 3}=56
Casos posibles: {12 \choose 7}=792
Hacemos la división y nos queda \frac {56}{792} = \frac{7}{99}
==== 1.30 (1.15 (a) y (c)) ====
(a) El modelo estadístico de Maxwell-Boltzmann nos dice que un evento particular tiene una probabilidad asociada de \frac {1}{n^{r}} siendo n el número de urnas y r el número de bolas.
P(17 \, bolas \ en \ la \ 1^{er} \ urna) = \frac {{17 \choose 17}}{20^{17}} = 7.6 \cdot 10^{-23}
P(10 \ bolas \ en \ la \ 1^{er} \ urna \ y \ 7 \ bolas \ en \ la \ 2^{da} \ urna) = \frac {{17 \choose 10} \cdot {7 \choose 7}}{20^{17}} = 1.48 \cdot 10^{-18}
Las probabilidades calculadas son iguales.
P(5 \ bolas \ en \ la \ 1^{er} \ urna \ y \ 3 \ bolas \ en \ la \ 2^{da} \ urna \ y \ 9 \ bolas \ en \ la \ 3^{er} \ urna) = \frac {{17 \choose 5} \cdot {12 \choose 3} \cdot {9 \choose 9}}{20^{17}} = 1.03 \cdot 10^{-16}
P(Que \ no \ caigan \ bolas \ en \ las \ ultimas \ 3 \ urnas) = \frac{(n-3)^r}{n^r} = \frac{(20-3)^{17}}{20^{17}} = \frac{17^{17}}{20^{17}} = 0.0631
(c) El modelo estadístico de Fermi-Dirac nos dice que un evento particular tiene una probabilidad asociada de \frac {1}{{n \choose r}} siendo n el número de urnas y r el número de bolas.
P(17 \, bolas \ en \ la \ 1^{er} \ urna) = 0
P(10 \ bolas \ en \ la \ 1^{er} \ urna \ y \ 7 \ bolas \ en \ la \ 2^{da} \ urna) = 0
Las probabilidades calculadas no son iguales.
P(5 \ bolas \ en \ la \ 1^{er} \ urna \ y \ 3 \ bolas \ en \ la \ 2^{da} \ urna \ y \ 9 \ bolas \ en \ la \ 3^{er} \ urna) = 0
P(Que \ no \ caigan \ bolas \ en \ las \ ultimas \ 3 \ urnas) = \frac {{(n-3) \choose r}}{{n \choose r}} = \frac {{(20-3) \choose 17}}{{20 \choose 17}} = \frac {{17 \choose 17}}{{20 \choose 17}} = 0.000877
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