====== Examen Final - 61.06 Probabilidad y Estadística A - No Industrial ====== **Cátedra:** Todas \\ **Fecha:** 2º Oportunidad - Invierno 2006\\ **Día:** 12/07/2006 Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== La distribución conjunta de x e y es una variable uniforme con dominio circular en el plano xy. Obtener el valor del coeficiente de correlación e interpretar el resultado (se puede resolver el ejercicio conceptualmente, sin hacer el cálculo). ==== Punto II ==== Encontrar la función de probabilidad de la suma de la V.A.X., binomial (n=1,p=0.5); con la V.A.Y., binomial (n=2, p=0.9) e indicar si se obtiene una nueva distribución binomial. (en caso afirmativo indique la relación entre los parámetros) ==== Punto III ==== Sea X una V.A. que representa una magnitud que se quiere medir en un proceso de producción. Su f.d.p. es: f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x-9 & \mbox{si } 9 < x \leq 10, \\ 11-x & \mbox{si } 10 < x \leq 11, \\ 0 & \forall \ \mbox{ otro } x. \end{array} \right. Si se desea controlar que la media de la variable x se mantenga a lo sumo en 10 con \alpha = 0.05. Calcular -Zona de aceptación y rechazo y curva característica de operación si se toma como variable de control una sola muestra. -Idem anterior si la variable de control es la media muestral con n= 50. ==== Punto IV ==== En un depósito hay 40000 piezas para analizar grado de deterioro de las mismas, se toma una muestra al azar de 800 piezas encontrando 2 piezas muy deterioradas. Si el costo de reparación de c/ pieza deteriorada es $300, ¿cuál es el monto mínimo que con 98% de prob. deberá presupuestarse para la reparación del total de las piezas del depósito? ==== Punto V ==== La cantidad de reactivo que se consume en cada operación industrial tiene una distribución uniforme U(0;2) en kg. La cantidad de operaciones por hora tiene una distribución binomial (n=2; p= 0.75). Calcular la probabilidad de que en una hora se consuman menos de 1.5 kg del reactivo ===== Resolución ===== ==== Punto I ==== ==== Punto II ==== La suma de X e Y no es normal porque tiene diferente p. Para hacer la suma se debe hacer en un cuadro. | | | X | | | | | 0 | 1 | | | 0 | 0.05 | 0.05 | | Y | 1 | 0.09 | 0.09 | | | 2 | 0.405 | 0.405 | Viendo los distintos valores que puede tomar Z=X+Y. P(Z=0)=0.005 P(Z=1)=0.095 P(Z=2)=0.495 P(Z=3)=0.405 ==== Punto III ==== Hago la primer parte nomás. H_0: \mu =10 H_A: \mu\neq 10 Se toma una sola muestra, entonces la variable a controlar es X. Se toma un \alpha=0.05 Si |x-10| \alpha=P(RH_0 / \mbox{cierto }H_0)=P(|x-10|>V_c / \mu=10) Si se dibuja esto en un gráfico, se ve que esta última probabilidad es dos veces el área de un triángulo de altura 1-V_c y base igual. Por lo tanto: \alpha=2\frac{(1-V_c)^2}{2}=(1-V_c)^2\longrightarrow V_c=1-\sqrt{\alpha}=0.776 Por lo tanto si 9.224 se acepta la hipótesis para la media de X. La CCO debe hallarse para cada \mu en particular. [PENDIENTE] ==== Punto IV ==== Se estima la proporción de deterioradas como \widehat{p}=2/800=0.0025. Como para tantos valores \widehat{p} es una normal de media E(\widehat{p})=p y \sigma_{\widehat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, donde n=800. Entonces: Z=\frac{\widehat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} Entonces: P( -Z_{(1-\alpha/2)}<\frac{\widehat{p}-p}{\sigma} Como quiero la proporción con 98% de confianza, \alpha=0.02. El fractil es Z(0.99)=2.32. Como no se puede despejar p, se aproxima el desvio estándar los valores de p con los valores estimados, entonces: \sigma=0.0017. Entonces: P(-0.0041<\widehat{p}-p<0.0041)=0.98. P(-0.0016. <= Es el IC para p. El presupuesto se obtendrá con el mayor p, (para cubrir todo el intervalo). p=0.0066 Por lo tanto habrá 265 piezas falladas, y el presupuesto necesario será de al menos $79500. ==== Punto V ==== X: cantidad de ractivo en cada operación -> U(0;2) Y: cantidad de operaciones por hora -> Bi(n=2; p=0.75) Z: cantidad de reactivo en una hora Z/Y =\sum_{i=1}^y X_i P(Z<1.5)=P(Z<1.5/Y=0)P(Y=0)+P(Z<1.5/Y=1)P(Y=1)+P(Z<1.5/Y=2)P(Y=2) Las probabilidades de Y se calculan con la binomial, y dan: P(Y=0)=0.0625 \quad P(Y=1)=0.375 \quad P(Y=2)=0.5625 Las otras probabilidades son: P(Z<1.5/Y=0)=1 porque no se puede haber gastado reactivo sin operar. P(Z<1.5/Y=1)=P(X<1.5)=0.75 P(Z<1.5/Y=2)=P(X_1+X_2<1.5) Esta probabilidad se calcula viendo que si X_1 y X_2 son independientes, f(x_1,x_2)=1/4 (se multiplican las funciones). Se resuelve haciendo la integral (o viendo el área directamente): P(X_1+X_2<1.5)=0.28125. Haciendo la cuenta total se obtiene: P(Z<1.5)=0.50195. Por lo tanto, hay un 50,19% de probabilidad de gastar menos de 1,5kg por hora de reactivo. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.