======61.03 Análisis Matemático II - Recuperatorio - 23/05/2009  ======
  * Cátedra: Todas
  * Fecha: 2° Oportunidad - (1° Cuatrimestre) 2009
  * Día: 23/05/2009

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===== Resolución =====

==== Punto II ====

Primero voy a buscar un vector tangente a C en <tex>P_o=(2,1)</tex> para eso defino <tex>g:R^2\rightarrow{R} / 

g(x,y)=\frac{x^2}{4}+y^2-2</tex>

<tex>\nabla G(x,y)=(\frac{x}{2},2y)</tex>
<tex>\nabla G(2,1)=(1,2)</tex>

Como el gradiente es perpendicular a la curva en <tex>P_0</tex>, entonces un vector tangente a ésta va a ser también 

perpendicular al gradiente

Uso el vector <tex>(-2,1)</tex> que cumple que es penpendicular al <tex>(1,2)</tex> ya que <tex>(-2,1)(1,2)=0</tex>
Además verifica que la coordenada "y" es positiva.
Lo normalizo <tex>\Rightarrow\hat{v}=\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}</tex>

Como f(x,y) es diferenciable puedo calcular su derivada direccional como <tex>\nabla f(x,y).\hat{v}</tex>

<tex>\Rightarrow\nabla f(x,y)=(y^2,1+2xy)</tex> \\
<tex>\nabla f(2,1)=(1,5)</tex> \\
<tex>f'[(2,1),\hat{v}]=(1,5)\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}</tex>



===== Punto IV =====

<tex>f(x,y)=x^3+2y^3+3y^2x-24x+2</tex> (f es diferenciable)

Busco los puntos en donde <tex>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0</tex>  y  <tex>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0</tex>

<tex>\Rightarrow\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^2+3y^2-24</tex>\\
<tex>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=6y^2+6xy</tex>\\

Igualo a cero las derivadas\\
<tex>6y^2+6xy=0\Rightarrow y(6y+6x)</tex>\\
<tex>\Rightarrow y=0</tex> o <tex>6y+6x=0</tex>\\

Si<tex>y=0\Rightarrow 3x^2-24=0\Rightarrow \left |{x}\right |=\sqrt{8}</tex>\\
**Tengo puntos criticos en**  <tex>P=(\sqrt{8},0)</tex>  y  <tex>P=(-\sqrt{8},0)</tex>\\

Si <tex>6y+6x=0\Rightarrow x=-y</tex> Reemplazando obtengo que <tex>\left |{y}\right |=2</tex>\\
**Tengo puntos criticos en**  <tex>P=(-2,2)</tex>  y  <tex>P=(2,-2)</tex>

Clasifico los puntos críticos utilizando el criterio de la matriz Hessiana de f:


  * <tex>Hf(x,y)=\begin{bmatrix}{6x}&{6y}\\{6y}&{12y+6x}\end{bmatrix}</tex>

<tex>Hf(\sqrt{8},0)=\begin{bmatrix}{6\sqrt{8}}&{0}\\{0}&{6\sqrt{8}}\end{bmatrix}</tex>\\
<tex>detHf(\sqrt{8},0)>0</tex> y <tex>\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(\sqrt{8},0)>0</tex>\\
<tex>\Rightarrow</tex> en el punto <tex>P=(\sqrt{8},0)</tex> se localiza un mínimo

  * <tex>Hf(-\sqrt{8},0)=\begin{bmatrix}{-6\sqrt{8}}&{0}\\{0}&{-6\sqrt{8}}\end{bmatrix}</tex>\\
<tex>detHf(-\sqrt{8},0)>0</tex> y <tex>\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(-\sqrt{8},0)<0</tex>\\
<tex>\Rightarrow</tex> en el punto <tex>P=(-\sqrt{8},0)</tex> se localiza un máximo

  * <tex>Hf(-2,2)=\begin{bmatrix}{-12}&{12}\\{12}&{12}\end{bmatrix}</tex>
<tex>detHf(-2,2)<0 \Rightarrow</tex> punto de ensilladura <tex>P=(-2,2,f(-2,2))=(-2,2,34)</tex>

  * <tex>Hf(2,-2)=\begin{bmatrix}{12}&{-12}\\{-12}&{-12}\end{bmatrix}</tex>
<tex>detHf(2,-2)<0 \Rightarrow</tex> punto de ensilladura <tex>P=(2,-2,f(2,-2))=(2,-2,-30)</tex>

''Texto de Código''

===== Discusión =====

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