======61.03 Análisis Matemático II - Parcial - 02/05/2009  ======
  * Cátedra: Todas
  * Fecha: 1° Oportunidad - (1° Cuatrimestre) 2009
  * Día: 02/05/2009

=====  =====

Enunciado (abrir documento PDF)

{{:materias:61:03:parcial_analisis.pdf|Parcial 02/05/2009}}

===== Resolución =====














==== Punto 2 ====
Sabemos que <tex>g(t)=(e^{t-1},t+2)</tex> y que f es una función diferenciable tal que el plano tangente a su gráfica (1,3,4) es<tex>z=ax+by+2</tex>. Además sabemos que <tex>h(t)= f(g(t))/h'(1)=1</tex>. Debemos averiguar los valores de **a** y **b**.

La primera coordenada de <tex>g(t)</tex> la llamamos 'x' y a la segunda 'y'.

Con el dato <tex>h'(1)=1</tex>, podemos decir que <tex>t_0= 1</tex>; y si hacemos <tex> g(1)= (1,3)</tex> calculamos el punto en la función g.

Ahora derivamos con la regla de la cadena:

<tex>h'(t_0)=\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \frac {\partial x}{\partial t_0}(t_0) + \frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \frac {\partial y}{\partial t_0}(t_0)=a(e^{t_0-1})+b1=a+b</tex>

Entonces como <tex>h'(1)=1\rightarrow h'(1)=a+b\rightarrow</tex><tex> 1=a+b\\1-a=b</tex>
  * Ecuación 1: <tex>b=1-a</tex>

Luego sacamos la segunda condición de reemplazar el punto <tex>(1,3,4)</tex>dado en la ecuación del plano dada:
<tex>z=ax+by+2\\
4=a1+b3+2\\
4-a-2=3b\\
\frac{2-a}{3}=b</tex>
  * Ecuación 2: <tex>b=\frac{2-a}{3}</tex>

Igualando la ecuación 1 con la ecuación 2, obtenemos <tex> 1-a=\frac{2-a}{3}\rightarrow 3-3a=2-a\\-2a=-1\rightarrow a=\frac{1}{2}\\ b=1-a=\rightarrow b=\frac{1}{2}</tex>

Entonces **a=1/2** y **b=1/2**
----


==== Punto 5 ====

Nos piden averiguar si <tex>g(x,y)=f(x,y)-sen[x(y+1)]</tex> tiene un extremo en el punto <tex>(0,-1)</tex> y analizarlo.
A simple vista vemos que la función <tex>g(x,y)</tex>, depende de la función <tex>f(x,y)</tex>. Pero como nos dan el polinomio de Taylor de orden 2 de <tex>f(x,y)</tex> en el punto <tex>(0,-1)</tex>, podemos decir que en ese punto, la función y el polinimio de Taylor son iguales.

Polinomio (dato): <tex>p(x,y)=-x^2-2y^2+xy+x-4y+2</tex>

<tex>f(0,-1)</tex>≅<tex>p(0,-1)=0-2+0+0+4+2=4</tex>

Ahora calculamos las derivadas parciales de primer orden para el polinomio de Taylor (para que existan extremos deben ser igual a cero en el punto a evaluar):

<tex>f'x(0,-1)=-2x+y+1=0+(-1)+1=0</tex>

<tex>f'x(0,-1)=-4y+x-4=4+0-4=0</tex>

Ahora calculamos las derivadas parciales de segundo orden para el polinomio de Taylor: 

<tex>f''xx(0,-1)=-2</tex>

<tex>f''xy(0,-1)=-4</tex> | Por el Teorema de Schwarz (la función debe ser diferenciable, es decir admitir derivadas parciales continuas)<tex>f''xy(0,-1)=f''yx(0,-1)</tex>

<tex>f''yy(0,-1)=1</tex>
----
Con estos datos calculamos la matriz Hessiana (para evaluar los extremos de la función) en el punto pedido.

<tex>g(0,-1)=f(0,-1)-sen[0(-1+1)]=4-sen(0)=4</tex>

<tex>g'x(0,-1)=f'x(0,-1)-cos[x(y+1)](y+1)=0-cos[0(-1+1)](-1+1)=0</tex>

<tex>g'y(0,-1)=f'y(0,-1)-cos[x(y+1)]x=0-cos[0(-1+1)]x=0</tex>

<tex>g''xx(0,-1)=f''xx(0,-1)-[-sen[x(y+1)](y+1)](y+1)](y+1)=</tex>
<tex>-2+sen[0(-1+1)](-1+1)=-2+0=-2</tex>

<tex>g''xy(0,-1)=f''xy(0,-1)-[-sen[x(y+1)]x(y+1)]+cos[x(y+1)]=</tex>
<tex> = 1-[-sen[0(-1+1)0(-1+1)+cos[0(-1+1)]=1+sen(0)+cos(0)=2</tex>

<tex>g''yy(0,-1)=f''yy(0,-1)-[-sen[x(y+1)]x(y+1)]+cos[x(y+1)]1=</tex>
<tex> =-4-[-sen[0(-1+1)0(-1+1)+cos[0(-1+1)]=-4+sen(0)+cos(0)=-4</tex>

----

Utilizo estos datos para determinar el extremo mediante la matriz Hessiana:

<tex>Hg(0,-1)=\begin{bmatrix}{-2}&{ 0}\\{ 0}&{-3}\end{bmatrix}=(-2)(-3)-(0)(0)=6</tex>

Como <tex>detHg(0,-1)=6>0</tex> y <tex>g''xx(0,-1)=-2<0\Rightarrow</tex>** Máximo local** <tex>P=(0,-1,f(0,-1))=(0,-1,4)</tex>