====== Parcial - 61.03 Análisis Matemático II - 11/10/2008 ======

**Cátedra:** Todas\\ 
**Fecha:** 1° Oportunidad - (2° Cuatrimestre) 2008\\ 
**Día:** 11/10/2008

===== Enunciado =====

1) Sea <tex>F: \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}</tex> una función <tex>{C}^{\infty}</tex> tal que <tex>F(0,1,3) = 1</tex> y <tex>\nabla F(0,1,3) = (1,1,1)</tex>.\\
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la superficie <tex>S=\{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 / F(x,y,z)-e^x+2xy = 0\}</tex> en el punto <tex>(0,1,3)</tex> \\

2) Mostrar que el sistema <tex>\left\{ \begin{array}{lll}
 2xy - 3u^2 + uv & = & -1 \\
 xu + yv & = & 1 
\end{array} \right. </tex>    define <tex>\left\{ \begin{array}{lll}
 u & = & u(x,y) \\
 v& = & v(x,y) 
\end{array} \right. </tex> en el entorno del punto <tex>(x_0,y_0,u_0,v_0) = (1,1,1,0) </tex> y hallar el plano tangente a la gráfica de la función <tex>u = u(x,y)</tex> en el punto <tex>(1,1,1)</tex>

3) Sea <tex>f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex> una función <tex>{C}^{\infty}</tex> cuyo polinomio de Taylor de orden 2 en el punto <tex>(2,1)</tex> es <tex>p(x) = 1+ 2x - xy + 2x^2</tex>.
Sea <tex>h(u,v) = f(u + 2v, -u + v)</tex>. Hallar el valor de la derivada direccional máxima de <tex>h</tex> en <tex>( \frac{4}{3} , \frac{1}{3})</tex>.

4) Hallar <tex>a \in \mathbf{R}</tex> de modo que la recta <tex>\left\{ \begin{array}{lll}
 x + z  & = & 1 \\
 x - 2y + z  & = & 3 
\end{array} \right. </tex>   sea tangente en <tex>(1,-1,0)</tex> a la superficie parametrizada por <tex>\sigma (u,v)= (1+2v, au + v^2, 2uv)</tex> con <tex>\left\{ \begin{array}{lll}
-2 \leq u \leq 2 \\
-1 \leq v \leq 1 
\end{array} \right. </tex>.

5) Sea la superficie <tex>S</tex> definida por <tex>(x-1)^2 + z^2 = 4</tex> hallar y parametrizar una curva <tex>C \subset S</tex> de manera que <tex>C</tex> resulte perpendicular al vector <tex>(1,2,3)</tex> en todo punto.



===== Resolución =====


==== Punto I ====
1) Defino <tex>\Phi : D \Phi \subset \mathbf {R}^3 \rightarrow  \mathbf {R} </tex> tal que <tex>  S \subset C_0 (\Phi)</tex>

El <tex>\nabla \Phi (x,y,z)</tex> será normal a <tex>S</tex>

<tex>\nabla \Phi (x,y,z) = ( \Phi_x (x,y,z), \Phi_y (x,y,z), \Phi_z (x,y,z))\\ \nabla \Phi (x,y,z) = ( F_x (x,y,z)- e_x + 2y , F_y (x,y,z) + 2x , F_z (x,y,z)) </tex>

Es dato: <tex>\nabla F(0,1,3) = (1,1,1) = ( F_x (x,y,z), F_y (x,y,z) , F_z (x,y,z))</tex>

Reemplazo para el punto (0,1,3), que es donde quiero la normal a la superficie: 

<tex>\nabla \Phi (0,1,3) = ( F_x (0,1,3)- e_0 + 2.1 , F_y (0,1,3) + 2.0 , F_z (0,1,3)) \\
\nabla \Phi (0,1,3) = ( 1 -1 +2 , 1 , 1) \\
\nabla \Phi (0,1,3) = (2,1,1)</tex>

La recta será entonces: <tex>\lambda (2,1,1) + (0,1,3)</tex>




==== Punto 2 ====

La ecuación del plano tangente será: <tex> z = u(1,1) + u_x(1,1)(x-1) + u_y(1,1)(y-1) </tex>

Quiero usar el teorema de Cauchi-Dinni (hay que verificar las condiciones)

<tex>f : \mathbf{R}^4 \rightarrow \mathbf{R}, \in C^\infty(\mathbf{R}^4) / f(x,y,u,v) = 2xy - 3u^2 + uv + 1 \\
 g : \mathbf{R}^4 \rightarrow \mathbf{R}, \in C^\infty(\mathbf{R}^4) / g(x,y,u,v) = xu + yv + 1 </tex>

<tex>f(P_0) = 0 \\
g(P_0) = 0</tex>

<tex>det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)} (P_0)) = -7 </tex>


Verificadas las hipótesis puedo operar:

<tex>\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (x,v)} (P_0))}{det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)} (P_0))} =  \frac{1}{7} \\
\\
\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (y,v)} (P_0))}{det( \frac{\partial (f,g)}{\partial (u,v)} (P_0))} =  \frac{2}{7}</tex>

===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
</note>