====== Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A - 08/05/2008 ====== **Cátedra:** Indistinta\\ **Fecha:** 1° Oportunidad - 1° Cuatrimestre 2008\\ **Día:** 08/05/2008\\ **Tema:** 2\\ ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Sea f: \mathbf {R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2 una función diferenciable, f(x,y) = (u(x,y), v(x,y)) tal que f(1,1)=(3,2) , con matriz jacobiana de f en (1,1) : \frac{\partial (u,v)} {\partial (x.y)} (1,1) = \left(\begin{array}{cccc}-1 & 2 \\2 & 2 \\\end{array}\right) Sea C la Curva imagen por f de x^2 + y^2 =2 . Hallar la ecuación de la recta tangente a C en (3,2) . ==== Punto II ==== Una función C^2 h (x,y,z) tiene un máximo relativo de valor 0 en (2,1,3) . Hallar una ecuación del plano tangente en (2,1,3) a la superficie de ecuación h (x,y,z) = 4y-x^2 . ==== Punto III ==== Parametrizar la curva C =\left\{ \begin{array}{ll} x^2 + y^2 -z=0 \\\sqrt{x^2 + y^2} = - (z-6) \end{array} \right. Graficar C y hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel en el punto (0,-2,4) ==== Punto IV ==== Sabiendo que: i-. f (x,y) es una función diferenciable en P_0 (x_0,y_0) ii-. La recta de ecuación 4x-y=0 es perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por P_0 iii-. La máxima pendiente de la superficie S de ecuación z=f(x.y) en (x_0, y_0, f(x_0,y_0 ) ) es \sqrt{6} . Hallar el gradiente de f en P_0= (x_0, y_0) sabiendo que su primer componente es positiva. ==== Punto V ==== Hallar a para que las superficies: S_1 : (u,v) \longrightarrow (u-v,u+v,v^2) con 0 \leq u \leq 2 y 0 \leq v \leq 2 S_2 : y^3+ax-z^2-7=0 sean ortogonales en el punto (0,2,1) ===== Resolución ===== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.