====== Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A ====== **Cátedra:** Todas\\ **Fecha:** 2da Oportunidad - 1er Cuatrimestre 2007\\ **Día:** 25/05/2007 ===== Enunciado ===== -Analizar si existen valores reales de a y b para los cuales la curva parametrizada por: u \mapsto (b(u - 2) + 10.3(u - 2), a(u^2 - 5u + 6)) es perpendicular en el punto (1,3,0) a la superficie de ecuación: 2x^2 + z^2 = \frac{4}{3}y - 2. -Sea \mathcal{S} la superficie parametrizada por: (u, v) \mapsto (u^2, u + v, u - v) \ , \ -1 < u < 2 \ , \ -1 < v < l. Hallar un vector tangente en (1,1,1) a la intersección de \mathcal{S} con el plano de ecuación y - z = 0. -Sea f: una función \mathcal{C}^4 y sea g(u, v) = f(2v - u, u - v). Hallar si existen valores reales a y b para que la función g(u, v) tenga extremo en el punto (1,1), sabiendo que el polinomio de Taylor de la función f de grado 3 en (1,0) es p(x,y) = y^3 +by^2 - 2y(a + 1) + 2x^2 - 4xy+4. -La función de producción de una empresa es:f(x,y) = 24y + 40x - y^2 - 4x^2. El costo para la compañía es de $16 por unidad de x y de $8 por unidad de y. Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea de $176 calcule la máxima producción posible dada esa restricción en el presupuesto. -Demostrar que es posible definir de manera implícita u y v de: \left\{ \begin{array}{l} yv+xyv^2=2 \\ yv^3+x^2u^4=2 \end{array} \right. como función de x e y de manera única cerca del punto (x,y, u, v) = (1,1,1,1). Hallar \frac{\partial v}{\partial y} en el punto (1,1). ===== Resolución ===== ==== Punto I ==== Para que la curva sea ortogonal a la superficie en el punto P_0=(1,3,0) deber cumplirse que, el verctor director de la recta tangente a la curva, evaluada en dicho punto, sea paralela a la normal de la superficie en cuestión. En primer lugar se evalua si existen valores para los cuales la curva pasa por el punto P_0. (bu-2b+10,\ 3u-6,\ au^2-5au+6a)=(1,3,0) \left\{ \begin{array}{l} bu-2b+10=1\\ 3u-6=3\\ au^2-5au+6a=0 \end{array}\right. \Rightarrow \ b=-9\mbox{ , } u=3 \mbox{ y } a sin condiciones. Luego se deriva la curva parametrizada para sacar el vector tangente: C^\prime =\left.(b,3,2au-5a)\right|_{\begin{array}{l} b=-9\\ u=3\end{array}} = (-9,3,a) Se calcula la normal a la superficie y=f(x,z) \Rightarrow \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4} y^2 + \frac{3}{2}=y \left. \nabla f \right|_{P_0}=\left. \left(3x,\frac{3}{2}z\right) \right|_{P_0}=(3,0) Por lo tanto, la normal a la superficie en P_0 es (3,-1,0). Finalmente resta comprobar que la normal y el vector tangente sean paralelos: \Rightarrow \lambda(3,-1,0)=(-9,3,a) \Rightarrow a=0 __Resultado:__ a=0 \mbox{ y } b=-9 ==== Punto II ==== La resolusíon de este problema consiste, básicamente, en hallar las normales en P_0 de la superficie y el plano en cuestión; su producto vectorial es justamente el la recta pretendida. En primer lugar se evalua si existen valores para los cuales la superficie pasa por el punto P_0. (u^2, \ u + v, \ u - v) =(1,1,1) \left\{ \begin{array}{l} u^2=1\\ u+v=1\\ u-v=1 \end{array}\right. \Rightarrow \ u=1\mbox{ y } u=0. Luego se deriva la superficie parametrizada respecto de cada una de las variables y posteriormente se realiza el producto vectorial para obtener la normal a la superficie: \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial u}= (2u,1,1) \qquad \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial v}=(0,1,-1) \Rightarrow (2u,1,1) \wedge (0,1,-1) = (-2,2u,2u) = (-2,2,2) = N_1|_{P_0} La normal del plano y-z=0 es N_2=(0,1,-1). Por último se calcula el producto vectorial entre N_1 y N_2: (-2,2,2)\wedge(0,1,-1)= (-4,-2,-2) \longrightarrow vector tangente. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.