====== Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A ====== **Cátedra:** Todas\\ **Fecha:** 2da Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2007\\ **Día:** 24/11/2007 ===== Enunciado ===== 1) Sea f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2 y su polinomio de Taylor de orden 2 en (0,0) P(x,y)=\alpha x^2 + y^2\\ \\ a) Demostrar que la gráfica de f es tangente al plano xy en \left( 0,0,f(0,0) \right).\\ b) Demostrar que si \alpha > 0 entonces f tiene un mínimo en (0,0).\\ c) Demostrar que si \alpha < 0 entonces f tiene un punto silla en (0,0).\\ \\ 2) Sea el sistema \left\{ \begin{array}{ll} xy^2+xz+2=0 \\ y^3+x^2-z^2=1 \end{array} \right. en un entorno de P=(-1,1,1) define implícitamente a x e y como funciones de z. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de h(z)=x^3(z)y^2(z) en \left( 1,h(1) \right)\\ \\ 3) Sea \mathrm{S} la superficie parametrizada por (u,v) \mapsto \left( 1-u, -u+v, -2u+v^2 \right) \qquad -1 Hallar los \mathrm{P} pertenecientes a \mathrm{S} tales que el plano tangente a \mathrm{S} en \mathrm{P} es paralelo al vector (-1,-2,-4).\\ \\ 4) Sea \pi : 2x+3y+5z=6 el plano tangente a la gráfica de f(x,y) en (-1,1,1) y sea \breve u un versor tangente a la curva de nivel 9 de g(x,y)=y^3-2xy+x^2 en (2,-1). Hallar la derivada direccional de f en (1,-1) en la dirección del \breve u elegido.\\ \\ 5) Sea \mathrm{C} la curva en \mathbf{R}^2 parametrizada por \gamma(u)=(2u^2,u) \qquad \sqrt { \frac {1}{2} } Sea f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}^2 definida por f(u,v)=(uv,u+v) Mostrar que la imagen por f de la curva \mathrm{C} en el punto (2,3) es perpendicular a la recta 5y=-6x+27. ===== Resolución ===== ==== Punto V ==== Metés a \gamma (u) = \left( 2u^2, u \right) adentro de f(u,v)=(uv, u+v), o sea, armás la composición. A vos te piden la imagen por f de \mathbf{C} en (2,3), o sea que f\left( \gamma(u) \right)=(2,3). La composición queda f\left( \gamma(u) \right)=\left( 2u^3, 2u^2 + u \right). Hacés el despeje y te da que u=1. Ahora buscás el vector director de la recta tangente en ese punto, así que derivás: f'=\left( 6u^2, 4u + 1 \right) Metés u=1 y el vector te da (6,5). Resulta que te pedían que muestres que era perpendicular con la recta 5y=-6x+27, o sea que el PI de los directores tiene que ser 0. Parametrizamos la recta: \left( x, -\frac {6}{5} x + \frac {27}{5} \right) = x \left( 1, -\frac {6}{5} \right) + \left( 0, \frac {27}{5} \right). Ahí va el PI: (6,5) \cdot \left( 1,- \frac {6}{5} \right) = 6\cdot 1 + 5\cdot \left( -\frac {6}{5} \right) = 0 Y mostramos lo que nos pedían. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.