====== Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A ====== **Cátedra:** Todas\\ **Fecha:** 1era Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2007\\ **Día:** 03/11/2007 ===== Enunciado ===== - Sea f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} una función C^2 tal que F(x+y ; x+z) = 0 define implicitamente a \ z=f(x,y) en un entorno de (x_0 , y_0 , z_0 ) Verificar que en (x_0 , y_0) se cumple que \frac{dz}{dy}-\frac{dz}{dx}=1 - Sea f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} una función C^3 y el polinomio de Taylor de grado 2 de f_{(1,1)} es p(x,y)=2+2y^2-2y-2x^2+4x hallar a para que la función g(x,y)=y f(x,y)+ay^2 tenga un extremo en (1,1) y determinar si es mínimo o maximo. - Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva descrita en coordenadas polares por: \rho = 4 \theta en \theta = \pi - Dada la superficie S : (x-3)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=42 y las rectas: \alpha_{(t)} = (2t,-3t,2t) y \beta_{(t)} = (1+3t,-1-2t,t) encontrar los puntos de S. Para los que el plano tangente a S en dichos puntos sea paralelo a ambas rectas, hallar las ecuaciones de dichos planos - Hallar todos los valores de a,b,c tales que la derivada direccional de f(x,y,z)= ayx^2+bxz+cz^2y^3 en (2,1,-1): - Alcance su valor maximo en direccion paralela al eje z - Dicho valor sea 64 ===== Resolución ===== ==== Punto I ==== Siendo F(x+y,y+z) = 0, tomo u = u(x,y) = x+y, v = v(x,y) = y+z, y entonces queda F (u, v) = 0. Haciendo un diagrama en árbol y aplicando la regla de la cadena queda que: \frac {\partial F}{\partial x} = \frac {\partial F}{\partial u} \frac {\partial u}{\partial x} \frac {\partial F}{\partial y} = \frac {\partial F}{\partial u} \frac {\partial u}{\partial y} + \frac {\partial F}{\partial v} \frac {\partial v}{\partial y} \frac {\partial F}{\partial z} = \frac {\partial F}{\partial v} \frac {\partial v}{\partial z} Derivando u y v, siempre dentro del entorno pedido: \frac {\partial u}{\partial x} = 1, \frac {\partial u}{\partial y} = 1, \frac {\partial v}{\partial y} = 1, \frac {\partial v}{\partial z} = 1 Después se aplica Cauchy-Dini para calcular \frac {\partial z}{\partial x} y \frac {\partial z}{\partial y}, se lo reemplaza en la ecuación dada y se verifica. ==== Punto II ==== Como p(x,y) es el polinomio de Taylor de f(x,y) en (1,1), tiene que cumplir que: p(1,1) = f(1,1), \nabla p(x,y) = \nabla f(x,y), H_g(1,1) = H_f(1,1), sacando las derivadas parciales de p obtengo los datos de f. Luego saco el gradiente de g y lo igualo al vector \mathbf{0}, exigiendo que se cumpla en el (1,1), creo que A me daba \frac{-3}{2}, armo la Hessiana de g y me quedó que se alcanza un máximo en ese punto. ==== Punto III ==== Este es otro ejercicio que me salió muy facil y por eso tengo dudas de que esté bien hecho. Pase de coordenadas polares a cartesianas x=\rho \cos \theta y=\rho \sin \theta Reemplazo \rho = 3 \theta en x e y y parametrizo la curva: \gamma (\theta) = (3 \theta \cos \theta, 3 \theta \sin \theta) Derivo para sacar el vector tangente a la curva: \gamma \prime (\theta) = (3(\cos \theta - \theta \sin \theta), 3 (\sin \theta + \theta \cos \theta)) Evaluando \theta = \frac {\pi}2 en gama tengo el punto de paso, y en la derivada de gama tengo la direccion de la recta y listo. ==== Punto IV ==== Defino la superficie S en forma implícita, para sacar el gradiente que por propiedad es perpendicular al plano tangente a S, y lo puedo usar como vector normal. Saco los vectores directores de las rectas derivando. Para que cumpla con lo pedido, la normal del plano tangente debe ser perpendicular a los dos vectores tangentes a las rectas, lo consigo haciendo el producto cruz, e igualandolo a una cte por la normal (porque tiene que ser un vector paralelo a la normal), haciendo las cuentas que ni da para escribirlas, queda x como variable independiente (aguante el rojo! cuak), y depende de x, z depende de x. Reemplazo estos valores en la ecuación de S y obtengo los puntos, que son dos, saco las normales en esos puntos y armo el plano tangente. Creo que el desarrollo esta bien pero me dio un montón de raíces de 2. ==== Punto V ==== Derivo a f respecto de x, y y z. Como las derivadas parciales son continuas, entonces f es diferenciable, entonces puedo definir a la derivada direccional como f'((1,2,-1), \vec v)= \nabla f (1,2,-1) \cdot \vec v, y empiezo a sacar las condiciones, la dirección tiene que ser máxima, y esto se logra en la dirección del vector gradiente por propiedad, dicha dirección tiene que ser unitaria por eso hay que normalizar al gradiente, tiene que ser paralela al eje z, o dicho de otro modo paralela al vector (0,0,1), con esto saque a y b, luego la derivada direccional la igualo a 64 y saco c. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.