====== Parcial - 61:03. Análisis Matemático II – 27/05/06 - TEMA 2 ====== **Cátedra:** Acero\\ **Fecha:27/05/06** 2º Oportunidad – 1º Cuatrimestre \\ Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== - Sea C la curva en \mathbf{R}^2 de ecuación 2x^2+y^2=1. Hallar una dirección tangente a C en (0,1) de manera que la derivada direccional de f(x,y)=\frac{(2x+y)}{\left(1+2x^2+y^2\right)} en (0,1) en esa dirección sea positiva. - Hallar a de manera que la recta de ecuaciones x+y=0, y+z=1 sea tangente en (-2,2,-1) a la superficie parametrizada por (u,v)\rightarrow\left(-1+v,uv+2v^2,v+2au\right),\ -1. - Sean u(x,y),v(xy) definidas por el siguiente sistema de ecuaciones uv-vx+uy=0 uv+ux-y^2=-1 en el entorno de (x_0,y_0,u_0,v_0)=(-1,0,-1,2). Si g(xy)=u^2-v, calcular aproximadamente g(-0.99,-0.01). - Resolver y fundamentar brevemente su respuesta * (a)Hallar los máximos y mínimos de f(x,y)=1-y^2 restringida a la curva de ecuación (x-2)^2+y^2=1. Graficar. * (b)Construir una función f: \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} de clase C^3 tal que su polinomio de Taylor de grado 2 en (0,1)sea p(x,y)=2+x+y^2+xy y f(0,0)=5. - Hallar todos los a,b a\not=0 tales que f(x,y)=2a(x-1)^2+b(y+2)^2-y^3 tiene extremo en (1,1). ===== Resolución ===== * 1. \nabla C=(4x,2y) \nabla C(0,1)=(0,2) El vector tangente es perpendicular al gradiente entonces si los multiplico tiene que dar 0. (0,2)(xy)=0 2y=0 y=0 (x,y)=(x,0)=x(1,0) \nabla F(0,1)=(4,0) La derivada direccional tiene que ser mayor a 0: \nabla F(0,1).(1,0)>0 (4,0).(1,0)>0 4>0 (1,0) es una dirección en donde la derivada de F(x,y) es positiva y además (1,0) es un vector tangente a C en (0,1) . * 2. a=0. * 5. a<0 b=1/2. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.