====== Enunciado ====== - Sea C la curva de ecuaciones en coordenadas polares \rho = 2 \cos (\theta) . Graficar C y hallar una ecuación para su recta tangente en \left( \frac {1}{2}, \frac {\sqrt{2}}{2} \right) . - Hallar la intersección de la superficie parametrizada por \\ (u,v)\rightarrow ( 1 + u, u + v, 2u + v^2), con -1 \\ con su plano tangente en (1,0,0). - Sea f \colon R^2 \mapsto R una función C^3 con mínimo local en (0,2). Hallar la máxima derivada direccional de\\ g(x,y) = {f}^2 (x-y, x^2 + y) + x^3y \\ en (1,1) - Resolver y fundamentar brevemente su respuesta * (a) Construír una función f \colon R^2 \mapsto R tal que tenga un mínimo en todos los puntos de la recta de ecuación x + y = 1. * (b) Hallar los puntos más cercanos al origen en la curva de ecuación x^3 + y^3 = 1 . - Dada F \colon R^3 \mapsto R una función C^3 tal que F(0,2,2)=0 y \nabla (F)(0,2,2) = (-1,1,2) , sea S_1 la superficie de ecuación F(x,y,z) = 0. Sea S_2 la superficie parametrizada por \\ (\rho, \theta) \rightarrow (\rho \cos (\theta), 2, \rho \sin (\theta)), 1< \rho <3, - \pi < \theta < \pi \\ Si C es la curva de intersección de S_1 y S_2, hallar aproximadamente la intersección de C con el plano de ecuación z = 1,9. ===== Resolución ===== - Paso de coordenadas polares a cartesianas, sabiendo que: \\ x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ {\rho}^2 = x^2 + y^2 \\ Para continuar hago un "truco" muy común cuando se trabaja en coordenadas polares: \\ \rho = 2 \cos (\theta) \\ multiplico en ambos lados por \rho y queda \\ {\rho}^2 = 2 \rho \cos (\theta) , comparando con las primeras expresiones \\ x^2 + y^2 = 2x \\ Paso el 2x para el otro lado y completo cuadrados \\ {(x-1)}^2 + y^2 =1 ( Ec. de una circunferencia de radio 1 con centro en (1,0)) \\ set parametric set xrange [0:3] set yrange [-1:1] plot [0:2*pi] cos(t)+1,sin(t) Parametrizo la curva \gamma (t) = (\cos (t) + 1, \sin (t)) con C = graf(\gamma) \\ Luego el vector director de la recta tangente es la derivada \\ \gamma \prime (t) = (- \sin (t), \cos (t)) \\ Busco la preimagen en el punto pedido: \cos (t) + 1 = \frac {1}{2} y \sin (t) = 1 \\ obtengo que t= \frac {2}{3} \pi , y el vector director será \gamma \prime \left( \frac {2}{3} \pi \right) = \left( - \frac {\sqrt 3}{2}, - \frac {1}{2} \right) , Luego la recta tangente queda \\ {\vec r}_t = \lambda \left( \frac {\sqrt 3}{2}, \frac {1}{2} \right) + \left( \frac {1}{2}, \frac {\sqrt 3}{2} \right) - Siendo la superficie S parametrizada por \sigma (u,v) = \left( 1+u, u+v, 2u + v^2 \right) hallo la preimagen en el (1,0,0) y me queda que u = 0 y v = 0, los cuales pertenecen a los intervalos pedidos. Luego necesitamos el vector normal a la superficie que será perpendicular tanto al vector tangente dada por la curva u = cte como al vector tangente dada por la curva v = cte. Osea N = {\Sigma}^{\prime }_u x {\Sigma}^{\prime}_v . \\ {\Sigma}^{\prime}_u(u,v) = (1,1,2) \qquad {\Sigma}^{\prime}_v(u,v)=(0,1,2v) \\ {\Sigma}^{\prime}_u(0,0) = (1,1,2) \qquad {\Sigma}^{\prime}_v(0,0)=(0,1,0) \\ N = {\Sigma}^{\prime}_u (0,0) x {\Sigma}^{\prime}_v (0,0) = \left| \begin{array}{ccc} \breve i & \breve j & \breve k \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right| =(-2,0,1) \\ Luego la ecuación del plano tangente está dado por \\ \Pi : N(X-P)=0 \\ (-2,0,1)[(x-1), y, z]=0 \\ z = 2(x-1) \\ Busco la intersección de \Pi con S \\ x= 1+u, \ y = u+v, \ z = 2u + v^2 \\ 2u+v^2=2(1+u-1) \\ v^2=2u-2u=0 \\ v=0 \\ La intersección es: \\ \Sigma (u,0) = (1+u, u, 2u)= u(1,1,2) + (1,0,0) \ con \ u \in (-1,1) \\ que no es mas que la ecuación de un segmento. \\ Nota: Aunque sea un detalle vale mencionar, fijense que no es lo mismo S que \Sigma , sino que S es la supeficie en si, es decir la grafica, mientras que \Sigma es la parametrización de S: S=Img (\Sigma)