====== Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A ====== **Cátedra:** Todas\\ **Fecha:** Segundo Recuperatorio - Segundo Cuatrimestre 2005\\ **Día:** 13/12/2005\\ **Tema:** 3 Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Sea S la superficie parametrizada por (u,v) \rightarrow (u-1, v, u^2+v^2+2), -1 < u < 1, -1 < v < 1. Mostrar que todas las rectas normales a S cortan la recta de ecuaciones x = -1, y = 0. ==== Punto II ==== Sea F(x,y) = ( u(x,y), v(x,y) ), con u(1,2) = 1, v(1,2) = 3, una función C^2 de R^2 en R^2 con matriz jacobiana \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \left[ \begin{array}{cc} 2x & 2y \\ 4x & -2y \end{array} \right] y sea f(x,y) = {(3u-v)}^2. Calcular \dfrac{{\partial}^2 f}{\partial {x}^2} (1,2). ==== Punto III ==== Sea f: R^2 R C^3 tal que su polinomio de Taylor de grado 2 en (0,0) es 2 + 2xy + x^2 + 2y^2, y sea F(x,y) = 5 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + 3 \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) - Hallar \nabla F (0,0). - Si y = y(x) es la función definida implícitamente por F(x,y) = 0 en un entorno de (x_{0},y_{0}) = (0,0), hallar y'(0). ==== Punto IV ==== Resolver y fundamentar brevemente su respuesta: - Sabiendo que el vector v = (-1,1,2) es tangente a la curva C parametrizada por t \rightarrow (x(t),y(t),z(t)), -1 < t < 1 en ( x(0), y(0), z(0) ), hallar un vector tangente a la proyección de C en el plano xy en el punto ( x(0), y(0), 0 ). - Mostrar un ejemplo de una función C^2 tal que restringida a x = 2 tenga máximo local estricto en (2,0) y restringida a y = 0 tenga mínimo local estricto en (2,0) ==== Punto V ==== Hallar los extremos de f(x,y) = x^2 - 4 y^2 restringida a la curva de ecuaciones x^2 + 4 y^2 = 1. Interpretar geométricamente. ===== Resolución ===== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.