====== Examen Parcial - 61.03. Análisis Matemático II A ====== **Cátedra:** Todas\\ **Fecha:** Primer Parcial - Segundo Cuatrimestre 2005\\ **Día:** 15/10/2005\\ **Tema:** 4 Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Sea S la superficie en \mathbf{R}^3 de ecuación x^2 + y^2 = 4. Hallar los puntos P en S tales que la recta normal a S en P pasa por (2,2,5). ==== Punto II ==== Sabiendo que el plano tangente en P = (2,2,5) al gráfico de una función C^2 f\colon\mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}, tal que f(1,1) = 2, es paralelo al plano de ecuación 3x + 3y + 3z = 0, hallar una ecuación de la recta tangente en (1,1) a la curva en \mathbf{R}^2 de ecuación f(x,y) + 5xy = 7. ==== Punto III ==== Sea f \colon \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} una función C^3 con mínimo local en (2,2) con f(2,2) = 2, con matriz Hessiana: H(f)(2,2) = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right] Hallar a y b tales que g(x,y) = f^2(x,y) + a{(x - 2)}^2 + b{(y - 2)}^2 tenga máximo local en (2,2) ==== Punto IV ==== Resolver y fundamentar brevemente su respuesta: - Sea F: \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R} una función C^2 tal que F(-1,1,1) = 0 y \nabla (F)(-1,1,1) \neq (0,0,0). Sabiendo que la recta normal a la superficie S de ecuación F(x,y,z) = 0 en (-1,1,1) pasa por el origen, mostrar que S es tangente en (-1,1,1) a la esfera de ecuación x^2 + y^2 + z^2 = 3 - Sea f : \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} C^1 tal que f(1,1) = 1. Sabiendo que la superficie parametrizada por (u,v) \rightarrow \left(5u-4v,3u^2-2v,\frac{u}{v}\right), \frac{1}{6} < u < \frac{3}{2}, \frac{1}{6} < v < \frac{3}{2} es tangente a la curva parametrizada por t \rightarrow \left(t,t,f(t,t)\right), \frac{1}{6} < t < \frac{3}{2} en (1,1,1), calcular la derivada direccional f'\left((1,1),\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) ==== Punto V ==== Hallar, si existen, los extremos de f(x,y) = x^2 + y^2 restringida al arco de curva descripto por x^2 + \frac{y^2}{4} = 1, x > 0. Interpretar geométricamente. ===== Resolución ===== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.