====== Examen Final - 61.03.Análisis Matemático II A - 17/02/2009 ======

**Día:** 17/02/2009
Tema: II

===== Enunciado =====



==== Punto I ====
Sea <tex>\Omega \subset R^3</tex> definida por <tex> x^2+z^2\leq 3,\ 0 \leq y\leq 3- \sqrt{x^2+z^2}</tex>.
Calcular el flujo del campo <tex>\overline{f}(x,y,z) = (2x-y,3y,z) </tex> a través de la superficie del borde de <tex>\Omega</tex>.
Indicar en un gráfico la dirección del vector normal elegido.


==== Punto II ====
Sea <tex>C </tex>la curva definida por <tex>x^2+az^2= 1,\ y=1,\ a>0 </tex> y <tex>\ F: R^3 \rightarrow R^3 </tex> un campo <tex>C^2 </tex>que satisface que <tex>\ rotF=(1,1-xy,xz) </tex>.
Hallar <tex>a > 0</tex> de manera que la circulación de <tex> F </tex>a lo largo de <tex> C </tex> sea <tex> 3 \pi </tex>.
Orientar la curva de manera que en <tex>(-1,1,0)</tex> la tangente tenga coordenada <tex>z</tex> positiva. 


==== Punto III ====
Hallar la ecuación de la familia de curvas ortogonales a las curvas definidas por <tex>x= ky^3</tex>. 


==== Punto IV ====
Si <tex> A \subset R^2</tex>es una región de área 2, calcular el área de <tex> B= \big\{ (x,y) \in R^2 : (3x-y,x+y) \in A\big\}</tex>



==== Punto V ====
Sea <tex>G : R^3\rightarrow R</tex> una función <tex>C^1</tex>
Calcular la circulación del campo
<tex> \overline{F}(x,y,z) = (xy-9yG(x,y,z),2G(x,y,z),3x(x,y,z))</tex> desde <tex>(x_0,1.z_0)</tex> hasta <tex>(x_1,8,z_1)</tex> a lo largo de la curva <tex> C </tex> cuyos puntos pertenecen a la superficie de ecuación <tex> z= y-x^2 </tex> y su proyección sobre el plano <tex>xy</tex> cumple con la ecuación <tex> y= x^3</tex>. Suponga <tex> G</tex> continua en <tex> R^3</tex> 

===== Resolución =====


==== Punto I ====

Tenemos a la Superficie <tex>\Omega \subset R^3</tex> definida por <tex> x^2+z^2\leq 3,\ 0 \leq y\leq 3- \sqrt{x^2+z^2}</tex>


Se la parametriza:

<tex>\gamma (t,\rho,y) = (\rho Cos(t), y , \rho Sen(t)), 0 \leq t \leq 2\pi \, , \, 0 \leq \rho \leq \sqrt{3} \, , \, 0 \leq y \leq 3 - \rho </tex>

Es una superficie Cerrada Incluida en el Dominio de <tex>\overline{f}</tex>, y vemos q el campo vectorial <tex>\overline{f}</tex> es <tex>C^1(\mathbf{R^3})</tex>

Podemos Aplicar el teorema de la Divergencia (o de Gauss), entonces nos quedaría lo siguiente:

Calculamos la <tex>Div(\overline{f}) \, = \, \nabla \cdot \overline{f}(x,y,z)</tex> entonces nos queda:

<tex>Div(\overline{f}) \, = \, 2 + 3 + 1 \, = \, 6 </tex>

Apliquemos el Teorema de Gauss:

<tex> \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \int_0^{3-\rho} 6 \rho \, dy \, d\rho \, dt </tex>

y me queda

<tex> 6 \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \int_0^{3-\rho} \rho \, dy \, d\rho \, dt </tex>

Operamos:

<tex> 6 \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} (\rho y) \bigg|_0^{3-\rho} d\rho \, dt </tex>


<tex> 6 \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} 3\rho - \rho^2 d\rho  </tex>


<tex> 6 \int_0^{2\pi} \left( \frac{3 \rho^2}{2} - \frac{\rho^3}{3} \right) \Bigg|_0^{\sqrt{3}} \, dt </tex>


<tex> 6 \int_0^{2\pi} \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{27}}{3} \, dt \, \to \, 6 \int_0^{2\pi} \frac{9}{2} - \sqrt{\frac{27}{9}} \, dt \, \to \, 6 \int_0^{2\pi} \frac{9}{2} - \sqrt{3} \, dt </tex>

Operamos:

<tex>6 [(\frac{9}{2}t - \sqrt{3}t) \bigg|_0^{2\pi}] \, = \, 6[ 9\pi - 2\sqrt{3}\pi] \, = \, 54\pi - 18\sqrt{3}\pi </tex>


Por lo tanto


<tex>\iint_C \overline{f} \cdot N \, dC \, = \, (54 - 18\sqrt{3})\pi </tex>


==== Punto II ====
tenemos la curva: <tex>C </tex>la curva definida por <tex>x^2+az^2= 1,\ y=1,\ a>0 </tex>

Parametrizo la curva:

<tex>C(t) = \left( Cos(\theta),1, \frac{1}{\sqrt{a}} Sen(\theta) \right) 0\leq \theta \leq 2\pi</tex>
La Ree-parametrizamos para formar la superficie y nos queda:

<tex>\sigma(\theta,\rho) = \left( \rho Cos(\theta),1, \frac{1}{\sqrt{a}} \rho Sen(\theta) \right), 0 \leq \theta \leq 2\pi \, \, 0\leq \rho \leq 1 </tex>


H1: El Campo Vectorial es <tex> C^2(\mathbf {R^3}) </tex>

H2: La curva <tex> C </tex> es un Lazo Simple de Jordan

H3: La curva es el borde de la superficie <tex> \sigma </tex>

Cumplen las 3 hipotesis que requiere el Teorema de Stokes, entonces se lo puede aplicar:

La normal de la Superficie es <tex> N \, = \, \left( 0,\frac{1}{\sqrt{a}},0 \right) </tex>

<tex>\int_0^{2\pi} \int_0^1 \left( 1,1-\rho Cos(\theta),\rho Cos(\theta)\frac{1}{\sqrt{a}} \rho Sen(\theta) \right) \cdot \left( 0,\frac{1}{\sqrt{a}},0 \right) \, d\rho d\theta</tex>


Resuelvo

<tex>\int_0^{2\pi} \int_0^1 (1-\rho Cos(\theta)) \frac{1}{\sqrt{a}}\rho \, d\rho d\theta </tex>


<tex> \frac{1}{\sqrt{a}} \int_0^{2\pi} \int_0^1 (\rho-\rho^2 Cos(\theta)) \, d\rho d\theta </tex>


<tex> \frac{1}{\sqrt{a}} \int_0^{2\pi} \left( \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^3}{3} Cos(\theta) \right) \Bigg|_0^1 \, d\rho d\theta </tex>


<tex> \frac{1}{\sqrt{a}} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} - \frac{1}{3} Cos(\theta) \, d\theta </tex>


<tex> \frac{1}{\sqrt{a}} \left( \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{3} Sen(\theta) \right) \Bigg|_0^{2\pi} </tex>

Ahora al resultado de toda esta porqueria se la iguala a <tex>3 \pi</tex>

<tex>\frac{\pi}{\sqrt{a}} \, = \, 3\pi</tex>

Operamos:

<tex>\frac{\pi}{3\pi} \, = \, \sqrt{a} </tex>


<tex> \frac{1^2}{3^2} \, = \, a </tex> Entonces, el valor de a nos queda:


<tex> a \, = \, \frac{1}{9} </tex>

==== Punto III ====
==== Punto IV ====
==== Punto V ====

===== Discusión =====

<note warning>
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