====== Examen Final - 61.03.Análisis Matemático II A - 16/07/2008 ====== **Tema:** 1 **Día:** 16/07/2008 ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Hallar la curva solucion de y'=\frac{x-y}{x} cuya recta tangente en el punto (1,y(1)) es paralela a la recta de ecuacion y-2x=3. ==== Punto II ==== Calcular la masa de la superficie cónica \left\{ \begin{array}{c}z^2=x^2+y^2 \\0 \leq z \leq 2 \\y \geq x\end{array} \right. siendo la densidad en cada punto proporcional a su distancia al plano xy ==== Punto III ==== Hallar el volumen del cuerpo K definido por \left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+z^2 \leq 4 \\x^2+(y-1)^2 \leq 1 \\z \geq 0\end{array} \right. ==== Punto IV ==== Sea \vec F(x,y,z)=(2,Q(x,y,z),R(x,y,z)) campo vectorial C^2 en R^3 tal que rot \vec F(x,y,1)=(-y,x,3). Calcular la circulación del campo \vec F a lo largo de la curva C parametrizada por \gamma(t)=(\cos(t),\sin(t),1), 0 \leq t \leq \pi de forma que la tangente en cada punto tenga coordenada x negativa. ==== Punto V ==== Sea \vec f(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),h(z)) un campo vectorial C^\infty en R^3 tal que div \vec f(x,y,x)=2x^2+2y^2 y h(z)=h(-z). Sea la superficie S=\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2=1 \\-1 \leq z \leq 1\end{array} \right.. Calcular el flujo de \vec f a través de S con la normal alejándose del eje z. ===== Resolución ===== ==== Punto I ==== Tenemos la ecuacion diferencial y'=\frac{x-y}{x} vamos a despejar un poco, "pasando" la x multiplicando a y' xy'=x-y , pasamos la y y nos queda formada la siguiente ecuacion diferencial xy'+y=x como podemos ver xy'+y resulta ser la derivada de [xy]', entonces podemos transcribir a la ecuacion diferencial como [xy]'=x ahora la primitiva de xy tiene que ser la \int x dx , es decir: xy=\int xdx entonces xy=\frac{x^2}{2} + c entonces nos queda q y=\frac{\frac{x^2}{2}+c}{x} o bien y=\frac{x}{2} + \frac{c}{x} ahora me dicen q la recta tangente de la solución hallada tiene que ser paralela a la recta de ecuacion y-2x=3 que la podemos transcribir como y=2x+3 en el punto (1,y(1)), y para que sean paralelas, tiene que tener igual pendiente, en este caso 2, derivemos la solucion de la ecuacion diferencial: y'=\frac{1}{2} - \frac{c}{x^2}, ahora busquemos la pendiente de la recta tangente en el punto (1,y(1)), donde aparecen las x reemplazamos por 1 y a la y' por 2, es decir: 2=\frac{1}{2} - c y nos queda q c = -\frac{3}{2} por lo tanto la solucion de la ecuacion diferencial nos queda como y=\frac{x}{2} -\frac{\frac{3}{2}}{x}, para ir redondeando el tema buscamos el valor de y(1): y(1)=\frac{1}{2} - \frac{3}{2} por lo tanto y(1)=-1 para finalizar: La solucion de la ecuacion diferencial y'=\frac{x-y}{x} cuya recta tangente sea paralela en el punto (1,-1) a la recta y-2x=3 es: y=\frac{x}{2} -\frac{\frac{3}{2}}{x} ==== Punto II ==== ==== Punto III ==== ==== Punto IV ==== ==== Punto V ==== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá. este final me lo envía Catalina L.