====== Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A ======

**Día:** 04/03/2008

===== Enunciado =====


==== Punto I ====

Calcular la integral de linea del campo <tex>F(x,y)=(y^2,2xy)</tex> desde <tex>(2,0)</tex> hasta <tex>(4,12)</tex> a lo largo de la curva <tex>C</tex> solucion particular de la ecuacion diferencial <tex>y' - \frac{3y}{x} = 2</tex> que pasa por dichos puntos.

==== Punto II ====

Calcular el flujo del campo <tex>F(x,y,z) = (cos(y) + 3.sen(z),0,x^2)</tex> a traves del semielipsoide superior <tex>3x^2 + 2y^2 + z^2 = 6</tex>, <tex>z \geq 0</tex> considerando la normal de componente <tex>z</tex> positiva.

==== Punto III ====

Sea el campo vectorial <tex>F(x,y,z) = c \times r</tex>, donde <tex>c</tex> es un vector constante y <tex>r</tex> es el vector posicion. Demostrar que la circulacion de <tex>F</tex> a lo largo de una curva cerrada simple y suave <tex>\Gamma</tex> es proporcional al flujo de <tex>c</tex> a traves de toda la superficie suave y orientable que tengo como borde a <tex>\Gamma</tex>


==== Punto IV ====

Describa en coordenadas cartesianas la region de <tex>R^3</tex> definida en coordenadas cilindricas por:

<tex> 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}</tex>

<tex> 0 \leq \rho \leq sen(\phi)sec^2(\phi)</tex>


<tex> 0 \leq z\leq \rho^2</tex>

y calcule el volumen del cuerpo en las coordenadas que le parezca más convenientes.

==== Punto V ====

Hallar los extremos de <tex>f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2</tex> restringida a la curva dada por las ecuaciones:

<tex>\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2}{5} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1 \\ y + 2z = 3 \\ \end{array} \right.</tex>

==== Resolución=====

==== Punto I ====

<tex>\frac{dF2}{dx} = 2y </tex>

<tex>\frac{dF1}{dy} = 2y </tex>

Como la matriz jacobiana de <tex>F</tex> es simetrica, entonces F es un campo conservativo. El resultado no depende del recorrido, solo del punto inicial y final.

Creo que recta que cumpla el <tex>P_o</tex> y el <tex>P_f</tex>

<tex>C(t) = (2t+2,12t)</tex>, <tex>t \in [0,1]</tex>

Resuelvo la integral de linea:

<tex>\int_c F(C).C'(t) dt = \int_0^1 (144t^2, 48t^2 + 48t). (2,12) dt </tex>

<tex>\int_0^1 864t^2 + 576t = 576 </tex>


==== Punto II ====

Utilizo el teorema de la divergencia:

<tex>\int \int \int_s Div(F) dV = \int \int_{elipse} dS + \int \int_{plano} dS </tex>

<tex>Div(F) = \frac{dF1}{dx} + \frac{dF2}{dy} + \frac{dF3}{dz} = 0 </tex>

Entonces:

<tex> - \int \int_{plano} dS = \int \int_{elipse} dS </tex>

La integral sobre la superficie del plano es la mas facil de hacer, parametrizo el plano:

<tex>S(\rho,\phi) = (\frac{1}{\sqrt{3}}.\rho.cos(\phi), \frac{1}{\sqrt{2}}.\rho .sen(\phi))</tex>

con : <tex>0 \leq \rho \leq \sqrt{6} </tex> , <tex>0 \leq \phi \leq 2\pi </tex>

Calculo la normal:

<tex> N = S'_{\phi} \times S'_{\rho} = (0,0,\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{3}}.\rho) </tex>

Resuelvo la integral con esta normal:

<tex>\int \int_s F(S).N dS </tex>

<tex>\int_0^{2 \pi} \int_o^{\sqrt{6}} \frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{3}}.\rho . \frac{\rho^2}{3}. cos^2(\phi)</tex>

<tex> \frac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}\int_0^{2 \pi} cos^2(\phi) =  \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \pi</tex>

<tex> \int \int_{elipse} dS = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \pi </tex>