====== Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A ======

**Día:** 12/02/2008




===== Enunciado =====


==== Punto I ====

Sea <tex>f : \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}^3 </tex> un campo vectorial <tex>C^1</tex>  y <tex>C</tex> la curva parametrizada por: <tex>\gamma(t) =(0,3.cos(t),3.sen(t))</tex> con <tex> t \in [0,\pi]</tex>.
Sabiendo que <tex>\int_c f.ds = -36</tex> y que <tex>rot(f(x,y,z)) = (-y,2z,1)</tex>, calcular la integral de linea de
<tex>f</tex> a lo largo del eje <tex>y</tex> desde <tex>(0,-3,0)</tex> hasta <tex>(0,3,0)</tex>.

==== Punto II =====

Sean el campo vectorial <tex>f(x,y,z) = (2x,2y-2,2z)</tex> y <tex>S</tex> la superficie de potencial 5 del campo <tex>f</tex> que pasa por <tex>(2,1,1)</tex>. Calcular el flujo de <tex>f</tex> a traves de <tex>S</tex>.



==== Punto III =====

Calcular la masa del cuerpo definido por: <tex>\left\{ \begin{array}{lll} y \geq x^2 \\ y+z \leq 4 \\ z \geq 0 \\ \end{array} \right.</tex>, si la densidad en cada punto es proporcional al producto de las distancias a los planos <tex>xz</tex> e <tex>yz</tex>.


==== Punto IV =====

Sea el campo vectorial <tex>f(x,y,z)=(2y,1,y.\phi(y,z))</tex> siendo <tex>\phi(y,z)</tex> una funcion <tex>C^1</tex>. Calcular el flujo de <tex>f</tex> a traves de la superficie de ecuacion <tex>x=1-y^2</tex> con <tex>z \leq 2 -x^2-y^2</tex> en el primer octante. Indique en un grafico la orientacion del vector normal que ha elegido

==== Punto V =====

Hallar la curva plana que pasa por <tex>(1,4)</tex> y satisface que en cada punto de cordenadas <tex>(x,y)</tex> la recta tangente se interseca con el eje <tex>y</tex> en un punto de ordenada <tex>3y</tex>


===== Resolucion =====

==== Punto I ====

No tenemos el campo vectorial, entonces aprovechamos el dato del rotor y aplicamos el teorema de Stokes.

<tex>\int\int_s Rot(F)\, dS = \int_c F \, ds + \int_{c2} F \, ds</tex>

Parametrizo la superficie encerrada por la semicircunferencia y la recta:

<tex>S(y,z) =(0,y,z), -3 \leq y \leq 3,\,  0 \leq z \leq 3</tex>

Saco la normal:

<tex> N = S'_y \times S'_z = (1,0,0) </tex>

Como la normal es acorde a la circulacion, entonces se le deja el signo igual.

<tex>\int\int_s Rot(F)\, dS = \int\int_s (-y,2z,1).(1,0,0)\, dS </tex>

<tex>\int_0^3\int_{-3}^3 -y \, dy dx = 0</tex>

<tex>\Rightarrow 0 = \int_c F \, ds + \int_{c2} F \, ds </tex>

El enunciado nos da el dato : <tex> \int_c F \, ds = -36 </tex>

<tex>\Rightarrow \int_{c2} F \, ds = 36 </tex>

==== Punto II ====

Hay que buscar el potencial de <tex>F(x,y,z)=(2x,2y-2,2z)</tex>

<tex> \int 2x \, dx = x^2 + C(y,z) \Rightarrow \phi (x,y) = x^2 + C(y,z)</tex>

<tex> \frac{\partial \phi}{\partial y} = C'(y) = 2y -2 \Rightarrow  \int 2y -1 \, dy = y^2 - 2y +C(z) </tex>
<tex> \Rightarrow \phi (x,y) = x^2 +y^2 -2y + C(z)</tex>
<tex> \Rightarrow \frac{\partial \phi}{\partial z} = C'(z) = 2z \Rightarrow C(z) = z^2 </tex>

<tex> \Rightarrow \phi (x,y) = x^2 +y^2 -2y + z^2 + C</tex>

Nos dicen que tiene que pasar por el punto <tex> (2,1,1) </tex>

<tex> x^2 + y ^2 - 2y + z^2 + C = 5 \Rightarrow C = 1 </tex>

Entonces el equipotencial 5 nos queda:

<tex> x^2 + (y-1)^2 + z^2 = 5 </tex>, Una esfera de radio <tex>\sqrt{5}</tex>

Por el teorema de la divergencia sabemos:

<tex>\int\int\int_V Div(F)\, dV = \int\int_S F \, dS </tex>

<tex>Div(F) = 6 </tex>

<tex> 6 \int\int\int_V 1\, dV </tex>

Como sabemos que la integral triple de 1 nos da el volumen, podemos utilizar la formula de volumen de la esfera: 

<tex> V_{esf} = \frac{4 \pi}{3}r^3 </tex>

<tex> V_{esf} = \frac{4 \pi}{3} \sqrt{125} </tex>

<tex> \Rightarrow \int\int_S F \, dS  = 8 \pi \sqrt{125} </tex>

==== Punto III ====

La figura que se forma es una canaleta que se extiende en el eje <tex>z</tex>acotada por los planos <tex>z =0</tex> y <tex>z = 4-y </tex>:

<tex> 0 \leq z \leq 4 - y </tex>

<tex> x^2 \leq y \leq 4 </tex>

<tex> -2  \leq x \leq 2 </tex>

El enunciado nos dice que la densidad es:

<tex>\delta = k|x||y| </tex>

Son muy importante los modulos, sino el resultado da cero. Planteamos la integral triple: 

<tex>\int_{-2}^{2} \int_{x^2}^{4} \int_{0}^{4-y} k|x||y| \, dz dy dx </tex>

<tex>k\int_{-2}^{2} \int_{x^2}^{4} |x||y|(4-y) \, dy dx </tex>

Como <tex> y </tex> toma siempre valores positivos, puedo sacarle el modulo:

<tex> k\int_{-2}^{2} \int_{x^2}^{4} 4|x|y -|x|y^2 \, dy dx </tex>

<tex> k\int_{-2}^{2} 32|x| -2|x|x^4 - \frac{64}{3}|x| + \frac{1}{3}|x|x^6 \, dx </tex>

Para sacar el modulo vamos a tener que dividir la integral en dos partes:

<tex> k \int_{0}^{2} 32x -2x^5 - \frac{64}{3} x + \frac{1}{3} x^7 \, dx +  k \int_{-2}^{0} -32x + 2x^5 + \frac{64}{3} x - \frac{1}{3} x^7 </tex>

Haciendo las cuentas el resultado que nos da es :

<tex>\int\int \int \delta \, dV = \frac{64}{3}k </tex> 







==== Punto IV ====

Parametrizo la superficie:

<tex>S(y,z)=(1-y^2,y,z)</tex>

<tex> 0 \leq z \leq 1 + y^2 - y^4</tex>

<tex> 0 \leq y \leq 1 </tex>

Busco la normal:

<tex> N = S'_y \times S'_z = (-2y,1,0) \times (0,0,1) = (1,2y,0) </tex>

Calculo el flujo:

<tex> \int\int_S F(S).n \, ds </tex>

<tex> \int_0^1\int_0^{1 + y^2 - y^4} (2y,1,y.\phi(y,z)).(1,2y,0) \, dzdy </tex>

<tex> \int_0^1\int_0^{1 + y^2 - y^4} 4y \, dzdy </tex>

<tex> \int_0^1 4y(1 + y^2 - y^4) dy </tex>

<tex> \int_0^1 4y + 4y^3 -4y^5 dy = 7/3 </tex>

entonces:

<tex> \int\int_S F(S).n \, ds = 7/3</tex>




==== Punto V ====

<tex>y' = m = \frac{3y-y}{0-x} = - \frac{2y}{x}</tex>

<tex>y' = - \frac{2y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{2y}{x}</tex>

<tex>\Rightarrow \frac{1}{2y} dy = -\frac{1}{x}dx \Rightarrow \int \frac{1}{2y} dy = \int -\frac{1}{x}dx </tex>

<tex>\Rightarrow \frac{ln(y)}{2} = - ln(x) + C \Rightarrow e^{ln(y)} = e^{-2ln(x) + 2c} = K.e^{ln(x^{-2})}</tex>

<tex>\Rightarrow  y = K.x^{-2}</tex>

Ahora buscamos la solucion particular, reemplazo <tex>y</tex> por <tex>4</tex> y <tex>x</tex> por <tex> 1</tex>, y busco <tex>K</tex>

<tex>4 = 1.K \Rightarrow K = 4 </tex>