====== Examen Final - 61.03 Análisis Matemático II ======

**Fecha:** 3º Oportunidad - (1º Cuatrimestre Invierno) 2007\\
**Día:** 19/07/2007

===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Se sabe que el campo vectorial <tex>F(x,y) = (x^2y + e^y, Q(x,y)) \in C^1</tex> en <tex>D \subseteq R2</tex>, siendo D la region definida en coordenadas polares por las siguientes ecuaciones:

<tex> \frac {\pi}{6} \leq \theta \leq \frac {\pi}{3}</tex>\\
<tex> 0 \leq \rho \leq 2</tex>\\

cuya frontera es la curva simple cerrada C. Justificar como debe elegirse <tex>Q(x,y)</tex> para que las circulaciones de <tex>F(x,y)</tex> a lo largo de la curva <tex>C^+</tex> coincidan con el area de D.


==== Punto II ====

Calcular el flujo de <tex>\bigtriangledown \times F (x,y,z) = (5x + sen(y), -4y + cos(z), -z)</tex> a traves de la superficie <tex>x^2 + y^2 + (z-5)^2 = 32</tex>, con <tex>z \geq 1</tex>. Considere la normal con componente z positiva.

==== Punto III ====

Calcular la coordenada “y” del centro de masa de la placa de densidad 1 limitada por las curvas <tex>\mid x-1 \mid + y = 0</tex>; <tex>x^2 + y^2 = 1</tex>.



==== Punto IV ====

**(a)** Sea <tex>f: R^3 \to R</tex> dada por <tex>f(x,y,z) = g(r)</tex> donde <tex>r = (x,y,z)</tex> , <tex>r = \mid r \mid</tex> y <tex>g:R \to R</tex> diferenciable. Calcule el flujo de <tex>\bigtriangledown f</tex> a traves de la porcion de cono <tex>z = (x^2 + y^2)^{\frac {1}{2}}</tex> encerrada en el interior del cilindro de ecuación <tex>(x+3)^2+(y-2)^2=1/4</tex>.

**(b)** Hallar las curvas planas tales que la recta normal en todo punto pasa por el origen



==== Punto V ====

Demuestre que el flujo de <tex>F(x,y,z) = ( 5x + ye^z, Q (x,z) , z)</tex> a traves del trozo de esfera de ecuación <tex>x^2 + y^2 + z^2 = 13</tex> con <tex>z \geq 2</tex> no depende de la funcion <tex>Q(x,z)</tex>.
Indique gráficamente la orientación que ha elegido para el versor normal a la superficie y otras hipótesis que deberia considerar.