====== Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A ======

**Cátedra:** Todas\\
**Fecha:** 2da Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2005\\
**Día:** 13/12/2005

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===== Enunciado =====

  -Sea <tex>F(x,y,z)=(xf'(z),yf'(z),zf(z))</tex> donde <tex>f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}</tex> <tex>f \in C^2</tex> tal que <tex>f(1)=4</tex> y <tex>f(0)=-1</tex>. \\ Calcular el flujo de <tex>F</tex> a través de la superficie desripta por <tex>x^2 + y^2 = 4</tex>, <tex>0 \leq z \leq 1</tex>, con la normal alejándose del eje <tex>z</tex>.
  -Siendo <tex>Q:\mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}</tex> <tex>Q \in C^2</tex>. Calcular el flujo del rotor del campo <tex>F(x,y,z)=(xz,3y,Q(x,z))</tex> a través de la semiesfera <tex>x^2+y^2+z^2=4</tex>, <tex>z>0</tex> con la normal de cordenada <tex>z \geq 0</tex>.
  -Sea <tex>F(x,y,z)=(x,1,3az)</tex>. Hallar <tex>a</tex> de manera que el flujo de <tex>F</tex> a través de <tex>x^2+z^2=4</tex>, <tex>0 \leq y \leq 2</tex> orientada de manera que su normal se aleje del eje <tex>y</tex>, sea <tex>2</tex>.
  -Responder a cada uno de los siguientes problemas, justificando brevemente su respuesta:
    -Sea el campo <tex>F(x,y,z)=(4x^2,0,0)</tex>. Hallar una esfera que contenga al origen de manera que el flujo de <tex>F</tex> hacia el exterior de la esfera no sea <tex>0</tex>.
    -Hallar <tex>a>0</tex> para que la mínima distancia al origen de la curva de ecuación <tex>a^2 x^2+y^2=1</tex> sea <tex>\frac{1}{4}</tex>.
  -Hallar <tex>a \in \mathbf{R}</tex> e <tex>y(t)</tex> sabiendo que <tex>y'(t)=a(t-1)y(t)</tex> y que la recta tangente al gráfico de <tex>y(t)</tex> en <tex>(0,y(0))</tex> tiene ecuación <tex>y=4t+1</tex>.
  -Hallar el volumen de la región del espacio descripta por <tex>2 \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 12</tex>, <tex>x^2+y^2+(z+15)^2 \geq 45</tex>.

===== Resolución =====

===Punto I===

La región a través de la cual se pretende calcular el flujo es un trozo de cilindro como el que muestra la figura:

<plot>
set ticslevel 0
set isosamples 100,10
set hidden3d
set parametric
splot [0:2*pi][0:1] 2*cos(u),2*sin(u),v
</plot>

//Chimento: Cualquier intento de aplicar el teorema de Gauss (o Teorema de la Divergencia) nos va a fallar. Nos va a quedar una f(z) que nunca nos vamos a poder sacar de encima.//

Aprovechando el chimento anterior, optamos por calcular ese flujo “manualmente”. 
Para ello, parametrizamos la superficie.
Por tratarse de una figura cilíndrica muy “generosa” (es decir, está centrada en el origen y no da problemas), ni dudamos en parametrizar utilizando coordenadas cilíndricas. 
El resultado de la parametrización es el siguiente:

<tex> F(\rho,z) = (2\cos(\rho),2\sin(\rho),z) \ con \ 0 \leq z \leq 1, \ 0 \leq \rho \leq 2\pi</tex>

Entonces:

<tex>\overrightarrow{F'_\rho} = (-2\sin(\rho),2\cos(\rho),0)</tex>

<tex>\overrightarrow{F'_z} = (0,0,1)</tex>

Con lo cual:

<tex>\overrightarrow{F'_\rho} X \overrightarrow{F'_z} =  \left| \begin{array}{ccc}
\widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k}\\
-2\sin(\rho) & 2\cos(\rho) & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right| = (2\cos(\rho),2\sin(\rho),0)</tex>

Es cuestión de hacer algunas pruebas con el resultado anterior, dándole valores a <tex>\rho</tex>, para ver que el normal de esa superficie resulta saliente; es decir, se “aleja” del eje z, tal como pide el enunciado. 
 
Ya podemos ir armando el “paquete” a integrar. Empezamos con la composición de la superficie con el campo vectorial:

<tex>\overrightarrow{f}(\overrightarrow{F}(\rho,z)) =
\left( \underbrace{2\cos(\rho)}_x \cdot f'(z), \underbrace{2\sin(\rho)}_y \cdot f'(z), zf'(z) \right)</tex>

Expresar el producto interno de esa composición con el normal de la superficie en la integral resulta en una expresión muy larga. Directamente ponemos la cuenta:

<tex>\mathop{\int \!\!\! \int}_{\Sigma}\overrightarrow{f}\widehat{n}d\sigma = \mathop{\int \!\!\! \int}_{D}(4\cos^2(\rho)\cdot f'(z) + 4\sin^2(\rho) \cdot f'(z))\cdot d\rho \cdot dz </tex>

Operando:

<tex>\mathop{\int \!\!\! \int}_{D}4 \cdot f'(z) \cdot 

 \underbrace{(\cos^{2}(\rho) + \sin^{2}(\rho))}_1 \cdot d\rho \cdot dz = 4 \cdot \mathop{\int \!\!\! \int}_{D} f'(z) \cdot d\rho \cdot dz </tex>

Finalmente, con los límites de integración:

<tex> 4 \cdot \int_0^{2 \pi} d \rho \int_0^1 f'(z) \cdot dz = 4 \cdot \int_0^{2 \pi} d \rho \cdot \Big[ f(z) \Big]_0^1 </tex>

Usando los datos del enunciado:

<tex> \Big[ f(z) \Big]_0^1 = f(1) \ - \ f(0) = 4 \ - \ (-1) = 5 </tex>

Con lo cual:

<tex> 4 \cdot 5 \cdot \int_0^{2 \pi} d \rho = 20 \cdot \int_0^{2 \pi} d \rho = \ $\fbox{40$\pi$}$ </tex>