====== Examen Final - 13/07/2004 - Tema 4 ======

===== Enunciado =====

  -Sea <tex>F(x,y,z) = (-x,z^2-y,-9z+1)</tex> y sea <tex>C</tex> la curva borde de la superficie parametrizada por <tex>(u,v) \rightarrow (-3u,v^2,v)</tex>, <tex>u^2+v^2 \leq 1</tex>. Calcular la circulación de <tex>F(x,y,z)</tex> a lo largo de <tex>C</tex>, orientada de tal manera de seguir el orden <tex>(-3,0,0) \rightarrow (0,1,1) \rightarrow (3,0,0)</tex>.
  -Sea, cuando <tex>y^2+z^2 > 0</tex>, <tex>F(x,y,z)=(0,\frac{z}{\sqrt{y^2+z^2}} - 3xz,x^2 y - \frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}})</tex>. Mostrar que el flujo de <tex>F</tex> a través de la superficie descripta por <tex>y^2+z^2 = 25</tex>, <tex>1 \leq x \leq 2</tex> es igual al flujo de <tex>F</tex> a través de la superficie descripta por <tex>x^2+y^2+z^2 = 16</tex>, <tex>1 \leq x \leq 2</tex> con la orientación elegida en ambos casos con la normal alejándose del eje <tex>x</tex>.
  -Dada la región <tex>R</tex> descripta por <tex>\frac{y^2}{z} - z \leq x \leq 0</tex>, <tex>1 \leq z \leq 2</tex> graficar aproximadamente <tex>R</tex> y calcular <tex>\mathop{\int \!\! \int \!\! \int}_{R} z dx dy dz</tex>.
  -Responder a cada uno de los siguientes problemas, justificando brevemente su respuesta:
    -Graficar aproximadamente la curva en <tex>\mathbf{R}^2</tex> descripta en coordenadas polares por <tex>\rho=1-\frac{cos(2 \varphi)}{2}</tex>, <tex>\varphi \in (0,2\pi)</tex>.
    -Hallar <tex>c > 0</tex> y <tex>d > 0</tex> de manera que el área encerrada por la elipse de ecuación <tex>c^2 x^2+ d^2 y^2=1</tex> que pasa por <tex>(1,3)</tex> sea mínima. //(Nota: el área encerrada por una elipse de ecuación// <tex>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</tex> //es// <tex>ab\pi</tex>//)//.
  -Hallar todos los puntos de intersección con la recta de ecuación <tex>x=4</tex> de la línea de flujo que pasa por <tex>(2,3)</tex> del campo <tex>V(x,y)=(-4+3y,2)</tex>.