====== Examen Final 09/12/2003 - Tema 1 ====== ===== Enunciado ===== -Sea F(x,y,z) = ( P(x,y,z) - 3x, -x (z - 2) Q(x,y,z), xy Q(x,y,z)) un campo vectorial C^2 en la región R \subset \mathbf{R}^3 descripta por x^2+y^2+z^2 < 100. Suponiendo que \mathop{\int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int}_{D} \nabla . F dx dy dz = 3, siendo D la región descripta por z \geq \sqrt{x^2+y^2}, y^2+z^2-4z \leq 0, calcular el flujo de F a través de S, siendo S la superficie descripta por z = \sqrt{x^2+y^2}, y^2+z^2-4z \leq 0, orientada de manera que la componente z de su vector normal sea positiva. -Sea F(x,y,z) = ( P(x,y,x) , Q(x,y,z) , xy+1) un campo vectorial C^2 en la región D \subset \mathbf{R}^3 descripta por x^2+y^2+z^2 < 100. Suponiendo que \nabla \times F = (1,0,0) en D, calcular la circulación de F a lo largo de la curva en el plano x=y, parametrizada por (\sin(t),\sin(t),\cos(t)), con t variando desde 0 hasta \pi. -Sea D \subset \mathbf{R}^3 la región descripta por 0 \leq z \leq 1, x^2+4y^2-z^2 \leq 1. Hallar el área de la proyección de D sobre el plano yz. Ilustrar graficamente. -Responder a cada uno de los siguientes problemas, justificando brevemente su respuesta: -Hallar una ecuación del plano tangente en (1,2,4) a la superficie de ecuación f(x,y,z)=3, sabiendo que la funcion C^2 w = f(x,y,z) tiene, sujeta a la condición y^2 - 4x^2 = 0, máximo relativo 3 en (1,2,4), y que \nabla f(1,2,4) es no nulo. -Calcular la circulación del campo (x^2,y) a lo largo de la curva definida por x=2y^3, desde (0,0) hasta (-2,-1). -Un corcho flota en la superficie de un río estacionario (es decir que la velocidad V(x,y) del fluído en cada punto (x,y) de la superficie depende de su posición (x,y) pero no del tiempo). El río fluye según el campo de velocidades V(x,y)=(1,x). Si el corcho pasa por el punto (1,1), ¿en qué punto cortará su trayectoria a la recta x=2?